Calcolo dei Limiti: Teorema del Confronto

Ultimo aggiornamento: 01 12 2020

In questa esercitazione, ti mostro come si applica il teorema del confronto al calcolo del limite di una funzione.

Questo teorema del confronto è detto anche teorema dei due carabinieri o anche teorema del sandwich.

Ciao! Sono Giuseppe.
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Esercizio (disponibile anche in PDF Stampabile qui):

Come si applica il teorema del confronto

Siano h, f, g tre funzioni, fatte così:

f(x)=2x-1 ;

g(x)=x² ;

h(x)=-x²+4x-2 .

Vogliamo calcolare il limite di f(x) per x che tende a 1, sapendo che 

lim h(x)=1        

x➝1                       

ed anche che

lim g(x)=1

x➝1                         

Svolgimento

Per far vedere il motivo per cui il teorema del confronto si chiama anche teorema dei due carabinieri o teorema del sandwich 🍞, rappresentiamo i diagrammi sul piano cartesiano delle due funzioni h e g, che sono due parabole.

Con un po' di conticini, scopriamo che le due parabole sono tangenti tra loro nel punto di coordinate (1,1) e che anche la retta di equazione 

y=2x-1

è tangente alle due parabole in quel punto.

Possiamo osservare che la retta è "imbottigliata", per così dire, tra le due parabole.

Possiamo anche scrivere che per ogni valore della x reale (dal grafico si vede bene!) si ha che 

h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)  ,  ∀ x ∊ R

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Torniamo al nostro esercizio...

lim h(x)=1       

x➝1                          

lim g(x)=1

x➝1                          

cioè

ossia

(ε, δ > 0 sono quantità positive piccole a piacere)

Facciamo un disegno, così capiamo meglio...

Ora, nell' ultima immagine, si può vedere meglio il fatto che anche la funzione f(x) tende a 1, per x che tende a 1, visto che 

h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) , ∀ x ∊ R, e dunque ovviamente anche per x che tende a 1 (cioè x vicinissimo a 1).

In altre parole, per valori della x molto vicini a 1 (x➝1), si ha che anche la f(x) tende a 1, perché è compresa ("imbottigliata") tra h(x) e g(x), le quali, per ipotesi, tendono a 1 per x che tende a 1.

In pratica, un hamburger all' interno di due fette di pane 🍔 che sono vicine alla finestra è anch' esso, per forza di cose, vicino alla finestra!! 😃

Quindi possiamo concludere che

lim f(x)=1     

x➝1

Bene! Abbiamo visto 

come si applica il teorema dei due carabinieri

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Alla prossima lezione. Ciao, ti aspetto!

Puoi guardare questa esercitazione nel video qui sotto: