Il Grafico delle Funzioni e le Trasformazioni Geometriche (1^ Parte)

In questo post, vedremo come si disegnano(senza utilizzare il computer❗️🤓🙄😀) delle funzioni, leggermente complesse, partendo dai grafici di funzioni più semplici e sfruttando le trasformazioni geometriche.

Il perchè 🔍 delle trasformazioni che sto per mostrarti sarà trattato in un altro mio elaborato.

Poichè lo studio approfondito della teoria è fondamentale per affrontare bene gli esercizi e i problemi di Matematica, ti consiglio dei libri validi, per studiare i concetti teorici basilari legati alle trasformazioni geometriche, che puoi ottenere grazie a dei link che ti ho fornito in fondo a questo post.

Disegnare il grafico di questa funzione:

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Ricorriamo al seguente schema, in cui k rappresenta un numero reale (k ∈ ℝ):

Schema 1

La nostra f(x) è ln(x).

f(x)=ln(x).

Dobbiamo disegnare f(x+k)=ln[x+(-2)].

k= -2 

Dunque, poichè k= -2 < 0 , il grafico che dovremo disegnare sarà quello di ln(x) traslato lungo la direzione dell' asse x con spostamento |-2 |= 2 verso destra.

Ecco il disegno:

Fig. 1

Ti faccio notare che oltre alla traslazione del diagramma di ln(x), assistiamo anche alla traslazione dell' asintoto verticale:

l' asse di equazione x=0 ( asse y, asintoto verticale di ln(x) ) viene traslato verso destra lungo la direzione dell' asse delle ascisse con uno spostamento pari a 2, diventando così l' asintoto verticale(x=2) della funzione ln(x-2).

Adesso ti fornisco altri schemi grazie ai quali potrai disegnare i grafici di alcune funzioni assegnate, leggermente complesse, dopo avere applicato certe trasformazioni geometriche a funzioni più semplici di equazione y=f(x).

Schema 2

Facciamo subito un esempio per applicare la traslazione parallela all' asse y dello schema 2.

Vogliamo disegnare la seguente funzione:

y = x² + x - 2 ,

che possiamo vedere, giusto per "giocare" con le trasformazioni geometriche, come 

y = ( x² + x ) - 2 ,

in cui f(x) = ( x² + x ) e k = -2 .

Cosa dice lo schema 2 ?

Dobbiamo traslare il grafico di f(x) lungo l' asse y, spostandolo di |-2|=2 verso il basso.

Il grafico di f(x) è la seguente parabola, y = x² + x :

Fig. 2

che traslata verso il basso, di 2, diventa y = ( x² + x ) - 2 :

Fig. 3

Ecco lo schema 3:

Schema 3

Facciamo subito un esempio per applicare la trasformazione geometrica dello schema 3.

Vogliamo disegnare la seguente funzione:

y = (-x)² + (-x) - 2 

Essa proviene dalla funzione y = f(x) = x² + x - 2, se al posto di x mettiamo -x.

Cosa dice lo schema 3 ?

Che il grafico di y = f(-x) =(-x)² + (-x) - 2 è il simmetrico del grafico di y = f(x) = x² + x - 2 rispetto all' asse y.

Di quest' ultima funzione conosciamo già il diagramma (fig. 4).

Fig. 4

Disegnando il simmetrico del grafico di Fig. 4 rispetto all' asse y, si ottiene

Fig. 5

Il grafico della funzione  y = f(-x) =(-x)² + (-x) - 2  è quello che passa per i punti M', Q' e P'.

In pratica, non facciamo altro che disegnare i simmetrici rispetto all' asse y dei punti della f(x) = x² + x - 2, come, ad esempio, P, Q ed M.

Nella fig. 5 puoi vedere che P si trasforma in P', Q si trasforma in Q'(ma coincidono!), M si trasforma in M', e così via.

Adesso lavoriamo sulla trasformazione geometrica del prossimo schema, il 4°.

Schema 4

Vogliamo disegnare y = - ( x² + x - 2 ) .

f(x) = x² + x - 2 è una nostra vecchia conoscenza 😄, e dobbiamo disegnare y = - f(x).

Cosa dice lo schema 4 ?

Dobbiamo rappresentare il simmetrico del grafico di y = f(x) = x² + x - 2 rispetto all' asse x per ottenere il grafico della funzione y = - ( x² + x - 2 ).

Nella Fig. 6 qui sotto, partendo dal diagramma di y = f(x) e "simmetrizzandolo" rispetto all' asse x, riusciamo a disegnare il grafico di y = - f(x) :

Fig. 6

Se non ti sono chiari alcuni passaggi, lascia qualche commento nella sezione qui sotto, e cercheremo di risponderti 👍.

Adesso, grazie allo schema 5, disegneremo il grafico della funzione  y = f(|x|) = |x|² + |x| - 2, partendo dalla nostra solita vecchia conoscenza, y = f(x) = x² + x - 2 .

Schema 5

Cosa dice lo schema 5?

Dobbiamo considerare la porzione destra (quella che giace nel semipiano delle ascisse positive) del grafico di y = f(x) = x² + x - 2 e unirla alla simmetrica di questa porzione destra rispetto all' asse y.

Nella Fig. 7 qui sotto si vede il grafico blu della y = f(x) = x² + x - 2, indicato dalle tante freccettine rosse, sul quale viene evidenziata in viola la porzione che sta a destra dell' asse y, la quale viene unita con la sua simmetrica rispetto all' asse delle ordinate per ottenere il diagramma di y = f(|x|) = |x|² + |x| - 2.

Fig. 7

In conclusione, nella fig. 8 qui sotto vediamo che occorre non tenere conto del ramo blu che sta a sinistra dell' asse y e tenere i rami disegnati in viola.

Fig. 8

Prima di continuare, ti ricordo che puoi trovare qui il mio eBook completo sui Monomi, con tanti ricchi esercizi svolti.

E qui puoi trovare il mio eBook sul Principio di Induzione, con diversi esercizi svolti.

Inoltre, ho pubblicato un mio eBook in cui svolgo e commento ben 13 esercizi, più sostanziosi di quelli trattati in questo post, proprio sulle trasformazioni geometriche applicate ai grafici di funzioni.

Grazie allo schema 6, riusciamo a disegnare il grafico di y = |f(x)| = |x² + x - 2|, partendo dal grafico di y = f(x) = x² + x - 2.

Cosa dice lo schema 6 ?

Schema 6

Dunque, osservando la fig. 9, del grafico della funzione y = f(x) = x² + x - 2 si tengono i rami positivi (quelli che stanno al di sopra dell' asse x) e a essi uniamo la porzione negativa (quella che sta sotto l' asse delle ascisse) simmetrizzata rispetto all' asse orizzontale.

Quello che si ottiene (fig. 9 qui sotto) è il grafico verde della funzione y = |f(x)| = |x² + x - 2|

Fig.9

Qui trovi la 2^ parte dedicata alle contrazioni e dilatazioni dei grafici.

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Prova a disegnare (senza utilizzare il computer❗️🤓🙄😀) le funzioni riportate qui sotto, partendo dai grafici di funzioni più semplici e sfruttando le trasformazioni geometriche.

Fammi sapere nella sezione dei commenti come svolgi questi esercizi. Buon lavoro!

Interessante sarà vedere anche come rappresentare graficamente una funzione come questa:

Come dicevo all' inizio di questo post, data l' importanza di studiare bene i concetti di matematica, ti consiglio vivamente di approfondire la teoria, relativa a questi argomenti, sui libri che puoi ottenere grazie ai link che trovi qui sotto 👇👇👇 📚:

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