Il Grafico delle Funzioni e le Trasformazioni Geometriche (2^ Parte)

In questo post (2^ parte), vedremo come si disegnano(senza utilizzare il computer❗️🤓🙄😀) delle funzioni, leggermente complesse, partendo dai grafici di funzioni più semplici e sfruttando le trasformazioni geometriche, in particolare le dilatazioni e le contrazioni. 

Il mio scopo è quello di mostrarti alcuni passi fondamentali attraverso lo svolgimento di esercizi di base.

Puoi accedere alla 1^ parte facendo clic qui.

Il perchè 🔍 delle trasformazioni che sto per mostrarti sarà trattato in un altro mio elaborato.

Poichè lo studio approfondito della teoria è fondamentale per affrontare bene gli esercizi e i problemi di Matematica, ti consiglio dei libri validi, per studiare i concetti teorici basilari legati alle trasformazioni geometriche, che puoi ottenere grazie a dei link che ti ho fornito in fondo a questo post.

Come abbiamo fatto nella 1^ parte, anche qui facciamo degli schemi relativi alle trasformazioni geometriche applicate ai grafici delle funzioni che ci rimangono da trattare.

Schema 1

Facciamo subito un' applicazione.

Vogliamo disegnare la funzione y = ( x/3 )² + ( x/3 ) - 2.

Essa proviene dalla funzione y = x² + x - 2, dove al posto di x abbiamo messo x/3.

Siamo nel caso dello schema 1, perchè

f(x) = x² + x - 2   e
f(x/3) = ( x/3 )² + ( x/3 ) - 2, in cui k=3.

Ora, poichè k > 1, si ha che il grafico di y = f(x/3) = ( x/3 )² + ( x/3 ) - 2 si ottiene dilatando (fig. 1), lungo l' asse x, il grafico della funzione più semplice, y = f(x) = x² + x - 2.

Vediamolo con un disegno:

Fig. 1

Nella Fig. 1 si vede che il punto A si trasforma nel punto A', il punto B viene trasformato nel punto B', e così via.

In pratica, l' ascissa del generico punto della funzione blu viene moltiplicata per 3 (il nostro k) per ottenere l' ascissa del punto corrispondente della funzione rossa.

In altre parole, prendo l' ascissa di A (x=-2) e la moltiplico per k=3 per ottenere l' ascissa del suo punto corrispondente A' ( x' = 3(-2) = -6 ). E così si fa di tutti gli altri punti più significativi, come il punto B che si trasforma nel punto B' e il vertice V che si trasforma nel vertice V'.

Adesso vogliamo disegnare la funzione y = ( 3x )² + ( 3x ) - 2.

Essa proviene dalla funzione y = x² + x - 2, dove al posto di x abbiamo messo 3x.

Notiamo che

Siamo sempre nel caso dello schema 1, perchè

f(x) = x² + x - 2   e

in cui k=1/3.

Ora, poichè 0 < k < 1, si ha che il grafico di y = f(3x) = ( 3x )² + ( 3x ) - 2 si ottiene contraendo (fig. 2), lungo l' asse x, il grafico della funzione più semplice, y = f(x) = x² + x - 2.

Vediamolo con un disegno:

Fig. 2

In pratica, l' ascissa del punto generico P di y = f(x) = x² + x - 2 viene divisa per 3 per ottenere l' ascissa del punto corrispondente P' di y = f(3x) = ( 3x )² + ( 3x ) - 2.

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Passiamo a questo punto allo schema relativo alla contrazione/dilatazione verticale.

Schema 2

Vogliamo disegnare il grafico della funzione y = 3(x² + x - 2).

Lo schema 2 ci dice che dobbiamo dilatare verticalmente, k = 3 > 1, il diagramma di y = x² + x - 2.

Vediamo il disegno qui sotto:

Fig. 3

In pratica, l' ordinata del punto P generico di y = x² + x - 2 viene moltiplicata per k=3 per ottenere l' ordinata del punto corrispondente P' della funzione y = 3( x² + x - 2 ).

V si trasforma, secondo questa dilatazione verticale, in V'; P diventa P', e così via.

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Ti potrebbero interessare altri esercizi svolti che si trovano in questa pagina nella sezione dedicata alle trasformazioni geometriche, oppure guarda questo mio video:

Per quanto riguarda il grafico di y = (1/3)(x² + x - 2), abbiamo che k = 1/3 è compreso tra 0 e 1, e dunque dobbiamo contrarre verticalmente il diagramma di y = x² + x - 2, come mostrato nella figura qui sotto:

In pratica, cosa succede all' ordinata del generico punto P della funzione y = x² + x - 2 per trasformarsi nel suo corrispondente punto P' della funzione y = (1/3)(x² + x - 2) ?
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Inoltre, ho pubblicato un mio eBook in cui svolgo e commento ben 13 esercizi, più sostanziosi di quelli trattati in questo post, proprio sulle trasformazioni geometriche applicate ai grafici di funzioni.

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