Il Grafico delle Funzioni e le Trasformazioni Geometriche (2^ Parte)

In questo post (2^ parte), vedremo come si disegnano(senza utilizzare il computer❗️🤓🙄😀) delle funzioni, leggermente complesse, partendo dai grafici di funzioni più semplici e sfruttando le trasformazioni geometriche, in particolare le dilatazioni e le contrazioni. 

Il mio scopo è quello di mostrarti alcuni passi fondamentali attraverso lo svolgimento di esercizi di base.

Puoi accedere alla 1^ parte facendo clic qui.

Il perchè 🔍 delle trasformazioni che sto per mostrarti sarà trattato in un altro mio elaborato.

Poichè lo studio approfondito della teoria è fondamentale per affrontare bene gli esercizi e i problemi di Matematica, ti consiglio dei libri validi, per studiare i concetti teorici basilari legati alle trasformazioni geometriche, che puoi ottenere grazie a dei link che ti ho fornito in fondo a questo post.

Come abbiamo fatto nella 1^ parte, anche qui facciamo degli schemi relativi alle trasformazioni geometriche applicate ai grafici delle funzioni che ci rimangono da trattare.

Schema 1

Facciamo subito un' applicazione.

Vogliamo disegnare la funzione y = ( x/3 )² + ( x/3 ) - 2.

Essa proviene dalla funzione y = x² + x - 2, dove al posto di x abbiamo messo x/3.

Siamo nel caso dello schema 1, perchè

f(x) = x² + x - 2   e
f(x/3) = ( x/3 )² + ( x/3 ) - 2, in cui k=3.

Ora, poichè k > 1, si ha che il grafico di y = f(x/3) = ( x/3 )² + ( x/3 ) - 2 si ottiene dilatando (fig. 1), lungo l' asse x, il grafico della funzione più semplice, y = f(x) = x² + x - 2.

Vediamolo con un disegno:

Fig. 1

Nella Fig. 1 si vede che il punto A si trasforma nel punto A', il punto B viene trasformato nel punto B', e così via.

In pratica, l' ascissa del generico punto della funzione blu viene moltiplicata per 3 (il nostro k) per ottenere l' ascissa del punto corrispondente della funzione rossa.

In altre parole, prendo l' ascissa di A (x=-2) e la moltiplico per k=3 per ottenere l' ascissa del suo punto corrispondente A' ( x' = 3(-2) = -6 ). E così si fa di tutti gli altri punti più significativi, come il punto B che si trasforma nel punto B' e il vertice V che si trasforma nel vertice V'.

Adesso vogliamo disegnare la funzione y = ( 3x )² + ( 3x ) - 2.

Essa proviene dalla funzione y = x² + x - 2, dove al posto di x abbiamo messo 3x.

Notiamo che

Siamo sempre nel caso dello schema 1, perchè

f(x) = x² + x - 2   e

in cui k=1/3.

Ora, poichè 0 < k < 1, si ha che il grafico di y = f(3x) = ( 3x )² + ( 3x ) - 2 si ottiene contraendo (fig. 2), lungo l' asse x, il grafico della funzione più semplice, y = f(x) = x² + x - 2.

Vediamolo con un disegno:

Fig. 2

In pratica, l' ascissa del punto generico P di y = f(x) = x² + x - 2 viene divisa per 3 per ottenere l' ascissa del punto corrispondente P' di y = f(3x) = ( 3x )² + ( 3x ) - 2.

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Passiamo a questo punto allo schema relativo alla contrazione/dilatazione verticale.

Schema 2

Vogliamo disegnare il grafico della funzione y = 3(x² + x - 2).

Lo schema 2 ci dice che dobbiamo dilatare verticalmente, k = 3 > 1, il diagramma di y = x² + x - 2.

Vediamo il disegno qui sotto:

Fig. 3

In pratica, l' ordinata del punto P generico di y = x² + x - 2 viene moltiplicata per k=3 per ottenere l' ordinata del punto corrispondente P' della funzione y = 3( x² + x - 2 ).

V si trasforma, secondo questa dilatazione verticale, in V'; P diventa P', e così via.

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Ti potrebbero interessare altri esercizi svolti che si trovano in questa pagina nella sezione dedicata alle trasformazioni geometriche, oppure guarda questo mio video:

Per quanto riguarda il grafico di y = (1/3)(x² + x - 2), abbiamo che k = 1/3 è compreso tra 0 e 1, e dunque dobbiamo contrarre verticalmente il diagramma di y = x² + x - 2, come mostrato nella figura qui sotto:

In pratica, cosa succede all' ordinata del generico punto P della funzione y = x² + x - 2 per trasformarsi nel suo corrispondente punto P' della funzione y = (1/3)(x² + x - 2) ?
Puoi rispondere nei commenti qui sotto👇

Inoltre, ho pubblicato un mio eBook in cui svolgo e commento ben 13 esercizi, più sostanziosi di quelli trattati in questo post, proprio sulle trasformazioni geometriche applicate ai grafici di funzioni.

Se credi che questi contenuti siano validi per te e per alcune persone che conosci, condividi questo post sui tuoi Social preferiti, sfruttando i pulsanti che trovi in fondo a questo mio elaborato, e iscriviti al mio Canale YouTube:
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Come dicevo all' inizio di questo post, data l' importanza di studiare bene i concetti di matematica, ti consiglio vivamente di approfondire la teoria, relativa a questi argomenti, sul libro che puoi ottenere grazie al link che trovi qui sotto 👇👇👇 📚:

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Il Grafico delle Funzioni e le Trasformazioni Geometriche (1^ Parte)

In questo post, vedremo come si disegnano(senza utilizzare il computer❗️🤓🙄😀) delle funzioni, leggermente complesse, partendo dai grafici di funzioni più semplici e sfruttando le trasformazioni geometriche.

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Disegnare il grafico di questa funzione:

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Ricorriamo al seguente schema, in cui k rappresenta un numero reale (k ∈ ℝ):

Schema 1

La nostra f(x) è ln(x).

f(x)=ln(x).

Dobbiamo disegnare f(x+k)=ln[x+(-2)].

k= -2 

Dunque, poichè k= -2 < 0 , il grafico che dovremo disegnare sarà quello di ln(x) traslato lungo la direzione dell' asse x con spostamento |-2 |= 2 verso destra.

Ecco il disegno:

Fig. 1

Ti faccio notare che oltre alla traslazione del diagramma di ln(x), assistiamo anche alla traslazione dell' asintoto verticale:

l' asse di equazione x=0 ( asse y, asintoto verticale di ln(x) ) viene traslato verso destra lungo la direzione dell' asse delle ascisse con uno spostamento pari a 2, diventando così l' asintoto verticale(x=2) della funzione ln(x-2).

Adesso ti fornisco altri schemi grazie ai quali potrai disegnare i grafici di alcune funzioni assegnate, leggermente complesse, dopo avere applicato certe trasformazioni geometriche a funzioni più semplici di equazione y=f(x).

Schema 2

Facciamo subito un esempio per applicare la traslazione parallela all' asse y dello schema 2.

Vogliamo disegnare la seguente funzione:

y = x² + x - 2 ,

che possiamo vedere, giusto per "giocare" con le trasformazioni geometriche, come 

y = ( x² + x ) - 2 ,

in cui f(x) = ( x² + x ) e k = -2 .

Cosa dice lo schema 2 ?

Dobbiamo traslare il grafico di f(x) lungo l' asse y, spostandolo di |-2|=2 verso il basso.

Il grafico di f(x) è la seguente parabola, y = x² + x :

Fig. 2

che traslata verso il basso, di 2, diventa y = ( x² + x ) - 2 :

Fig. 3

Ecco lo schema 3:

Schema 3

Facciamo subito un esempio per applicare la trasformazione geometrica dello schema 3.

Vogliamo disegnare la seguente funzione:

y = (-x)² + (-x) - 2 

Essa proviene dalla funzione y = f(x) = x² + x - 2, se al posto di x mettiamo -x.

Cosa dice lo schema 3 ?

Che il grafico di y = f(-x) =(-x)² + (-x) - 2 è il simmetrico del grafico di y = f(x) = x² + x - 2 rispetto all' asse y.

Di quest' ultima funzione conosciamo già il diagramma (fig. 4).

Fig. 4

Disegnando il simmetrico del grafico di Fig. 4 rispetto all' asse y, si ottiene

Fig. 5

Il grafico della funzione  y = f(-x) =(-x)² + (-x) - 2  è quello che passa per i punti M', Q' e P'.

In pratica, non facciamo altro che disegnare i simmetrici rispetto all' asse y dei punti della f(x) = x² + x - 2, come, ad esempio, P, Q ed M.

Nella fig. 5 puoi vedere che P si trasforma in P', Q si trasforma in Q'(ma coincidono!), M si trasforma in M', e così via.

Adesso lavoriamo sulla trasformazione geometrica del prossimo schema, il 4°.

Schema 4

Vogliamo disegnare y = - ( x² + x - 2 ) .

f(x) = x² + x - 2 è una nostra vecchia conoscenza 😄, e dobbiamo disegnare y = - f(x).

Cosa dice lo schema 4 ?

Dobbiamo rappresentare il simmetrico del grafico di y = f(x) = x² + x - 2 rispetto all' asse x per ottenere il grafico della funzione y = - ( x² + x - 2 ).

Nella Fig. 6 qui sotto, partendo dal diagramma di y = f(x) e "simmetrizzandolo" rispetto all' asse x, riusciamo a disegnare il grafico di y = - f(x) :

Fig. 6

Se non ti sono chiari alcuni passaggi, lascia qualche commento nella sezione qui sotto, e cercheremo di risponderti 👍.

Adesso, grazie allo schema 5, disegneremo il grafico della funzione  y = f(|x|) = |x|² + |x| - 2, partendo dalla nostra solita vecchia conoscenza, y = f(x) = x² + x - 2 .

Schema 5

Cosa dice lo schema 5?

Dobbiamo considerare la porzione destra (quella che giace nel semipiano delle ascisse positive) del grafico di y = f(x) = x² + x - 2 e unirla alla simmetrica di questa porzione destra rispetto all' asse y.

Nella Fig. 7 qui sotto si vede il grafico blu della y = f(x) = x² + x - 2, indicato dalle tante freccettine rosse, sul quale viene evidenziata in viola la porzione che sta a destra dell' asse y, la quale viene unita con la sua simmetrica rispetto all' asse delle ordinate per ottenere il diagramma di y = f(|x|) = |x|² + |x| - 2.

Fig. 7

In conclusione, nella fig. 8 qui sotto vediamo che occorre non tenere conto del ramo blu che sta a sinistra dell' asse y e tenere i rami disegnati in viola.

Fig. 8

Prima di continuare, ti ricordo che puoi trovare qui il mio eBook completo sui Monomi, con tanti ricchi esercizi svolti.

E qui puoi trovare il mio eBook sul Principio di Induzione, con diversi esercizi svolti.

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Grazie allo schema 6, riusciamo a disegnare il grafico di y = |f(x)| = |x² + x - 2|, partendo dal grafico di y = f(x) = x² + x - 2.

Cosa dice lo schema 6 ?

Schema 6

Dunque, osservando la fig. 9, del grafico della funzione y = f(x) = x² + x - 2 si tengono i rami positivi (quelli che stanno al di sopra dell' asse x) e a essi uniamo la porzione negativa (quella che sta sotto l' asse delle ascisse) simmetrizzata rispetto all' asse orizzontale.

Quello che si ottiene (fig. 9 qui sotto) è il grafico verde della funzione y = |f(x)| = |x² + x - 2|

Fig.9

Qui trovi la 2^ parte dedicata alle contrazioni e dilatazioni dei grafici.

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Prova a disegnare (senza utilizzare il computer❗️🤓🙄😀) le funzioni riportate qui sotto, partendo dai grafici di funzioni più semplici e sfruttando le trasformazioni geometriche.

Fammi sapere nella sezione dei commenti come svolgi questi esercizi. Buon lavoro!

Interessante sarà vedere anche come rappresentare graficamente una funzione come questa:

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