Come si disegna il grafico di una funzione applicando le trasformazioni geometriche
Ciao! Sono Giuseppe. In questo blog parlo di matematica, e in particolare svolgo e commento esercizi per le scuole superiori e l' università. Se ti interessa la matematica, iscriviti al mio Canale Youtubee attiva la campanella per ricevere tutte le mie nuove pubblicazioni che arriveranno. In questo breve tutorial, ti propongo 4 funzioni goniometriche di cui vogliamo disegnare i grafici applicando alcune particolari
trasformazioni geometriche: dilatazioni e contrazioni
Anche se le funzioni di cui andremo a disegnare i grafici non sono particolarmente complesse, comunque ti farò vedere le regole generali per decidere che cosa fare in base alla tipologia delle funzioni assegnate in questa esercitazione.
In questo post (2^ parte), vedremo come si disegnano(senza utilizzare il computer❗️🤓🙄😀) delle funzioni, leggermente complesse, partendo dai grafici di funzioni più semplici e sfruttando le trasformazioni geometriche, in particolare le dilatazioni e le contrazioni. Il mio scopo è quello di mostrarti alcuni passi fondamentali attraverso lo svolgimento di esercizi di base. Puoi accedere alla 1^ parte facendo clic qui.
Il perchè 🔍 delle trasformazioni che sto per mostrarti sarà trattato in un altro mio elaborato. Poichè lo studio approfondito della teoria è fondamentale per affrontare bene gli esercizi e i problemi di Matematica, ti consiglio dei libri validi, per studiare i concetti teorici basilari legati alle trasformazioni geometriche, che puoi ottenere grazie a dei link che ti ho fornito in fondo a questo post.
Come abbiamo fatto nella 1^ parte, anche qui facciamo degli schemi relativi alle trasformazioni geometriche applicate ai grafici delle funzioni che ci rimangono da trattare.
Schema 1
Facciamo subito un' applicazione.
Vogliamo disegnare la funzione y = ( x/3 )² + ( x/3 ) - 2.
Essa proviene dalla funzione y = x² + x - 2, dove al posto di x abbiamo messo x/3.
Siamo nel caso dello schema 1, perchè
f(x) = x² + x - 2 e f(x/3) = ( x/3 )² + ( x/3 ) - 2, in cui k=3.
Ora, poichè k > 1, si ha che il grafico di y = f(x/3) = ( x/3 )² + ( x/3 ) - 2 si ottiene dilatando (fig. 1), lungo l' asse x, il grafico della funzione più semplice, y = f(x) = x² + x - 2.
Vediamolo con un disegno:
Fig. 1
Nella Fig. 1 si vede che il punto A si trasforma nel punto A', il punto B viene trasformato nel punto B', e così via.
In pratica, l' ascissa del generico punto della funzione blu viene moltiplicata per 3 (il nostro k) per ottenere l' ascissa del punto corrispondente della funzione rossa.
In altre parole, prendo l' ascissa di A (x=-2) e la moltiplico per k=3per ottenere l' ascissa del suo punto corrispondente A' ( x' = 3(-2) = -6 ). E così si fa di tutti gli altri punti più significativi, come il punto B che si trasforma nel punto B' e il vertice V che si trasforma nel vertice V'.
Adesso vogliamo disegnare la funzione y = ( 3x )² + ( 3x ) - 2.
Essa proviene dalla funzione y = x² + x - 2, dove al posto di x abbiamo messo 3x.
Notiamo che
Siamo sempre nel caso dello schema 1, perchè
f(x) = x² + x - 2 e
in cui k=1/3.
Ora, poichè 0 < k < 1, si ha che il grafico di y = f(3x) = ( 3x )² + ( 3x ) - 2 si ottiene contraendo (fig. 2), lungo l' asse x, il grafico della funzione più semplice, y = f(x) = x² + x - 2.
Vediamolo con un disegno:
Fig. 2
In pratica, l' ascissa del punto generico P di y = f(x) = x² + x - 2 viene divisa per 3per ottenere l' ascissa del punto corrispondente P'di y = f(3x) = ( 3x )² + ( 3x ) - 2.
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Passiamo a questo punto allo schema relativo alla contrazione/dilatazione verticale.
Schema 2
Vogliamo disegnare il grafico della funzione y = 3(x² + x - 2).
Lo schema 2 ci dice che dobbiamo dilatare verticalmente, k = 3 > 1, il diagramma di y = x² + x - 2.
Vediamo il disegno qui sotto:
Fig. 3
In pratica, l' ordinata del punto P generico di y = x² + x - 2 viene moltiplicata per k=3 per ottenere l' ordinata del punto corrispondente P' della funzione y = 3( x² + x - 2 ).
V si trasforma, secondo questa dilatazione verticale, in V'; P diventa P', e così via.
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Per quanto riguarda il grafico di y = (1/3)(x² + x - 2), abbiamo che k = 1/3 è compreso tra 0 e 1, e dunque dobbiamo contrarre verticalmente il diagramma di y = x² + x - 2, come mostrato nella figura qui sotto:
In pratica, cosa succede all' ordinata del generico punto P della funzione y = x² + x - 2 per trasformarsi nel suo corrispondente punto P' della funzione y = (1/3)(x² + x - 2) ?
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Come dicevo all' inizio di questo post, data l' importanza di studiare bene i concetti di matematica, ti consiglio vivamente di approfondire la teoria, relativa a questi argomenti, sul libro che puoi ottenere grazie al link che trovi qui sotto 👇👇👇 📚:
