Retta nel Piano Cartesiano: Esercizi Svolti

Fig. 0

Noti due punti del piano cartesiano, come si trova l' equazione della retta che passa per essi?

Come si trova, o come si riconosce, il coefficiente angolare di una retta?

Come si trova, o come si individua, l' ordinata all' origine di una retta?

Ciao! Sono Giuseppe.
In questo blog parlo di matematica, e in particolare svolgo e commento esercizi per le scuole superiori e l' università.

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In questo breve tutorial, ti propongo un paio di esercizi.

Il primo esercizio che svolgerò in questo tutorial ci fornisce due punti, P(2, 4) e Q(-1, 2), e ci chiede di trovare:

a) l' equazione della retta r passante per P e Q;

b) il coefficiente angolare della retta r;

c) l' ordinata all' origine della retta r;

d) l' equazione della retta parallela a r passante per O, l' origine degli assi cartesiani.

Svolgimento

a)
Poiché i punti assegnati ce lo permettono, utilizziamo la formula

Fig. 1

per ricavare l' equazione della retta r.

P(2, 4) sia il nostro primo punto e Q(-1, 2) il secondo punto.
Dunque x₁=2, y₁=4, x₂=-1, y₂=2

Facciamo le sostituzioni, manipoliamo ed arriviamo fino all' equazione della retta in forma esplicita:

Fig. 2

L' ultima che abbiamo scritto è l' equazione della retta in forma esplicita.

b)
Il coefficiente angolare è dato dal coefficiente della x nell' equazione scritta in forma esplicita, cioè 2/3

c) 
L' ordinata all' origine della retta r è data dal termine noto (quello senza lettera) nell' equazione scritta in forma esplicita, cioè 8/3

d) 
L' equazione della retta parallela a r passante per l' origine degli assi cartesiani ha la forma

y=m⋅x ,

dove m è uguale al coefficiente angolare della retta r (le due rette devono essere parallele).

Dunque

y=(2/3)x

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Il secondo esercizio che svolgerò in questo tutorial ci fornisce l' equazione in forma implicita della retta r passante per i punti P e Q,

3x+y-1=0, 

e ci chiede di trovare:

a) l' ordinata di P(2, ...) e l' ascissa di Q(... , 4) ;

b) il coefficiente angolare della retta r;

c) l' ordinata all' origine della retta r;

d) l' equazione della retta parallela a r passante per O, l' origine degli assi cartesiani.

Svolgimento

Scrivendo l' equazione nella forma esplicita, troviamo agevolmente gli elementi richiesti dai punti b), c) e d).

Ecco dunque la forma esplicita dell' equazione:

y=-3x+1

Ma prima rispondiamo al primo quesito di questo secondo esercizio.

a)
Sappiamo che P(2, yₚ) e Q(x, 4) appartengono alla retta r, quindi le loro coordinate soddisfano l' equazione della retta:

yₚ=-3⋅2+1 ⇾ yₚ=-5 ⇾ P(2, -5)

ed anche

4=-3x+1 ⇾ x = -1 ⇾ Q(-1, 4)

b)
Il coefficiente angolare è dato dal coefficiente della x nell' equazione scritta in forma esplicita, cioè -3

c) 

L' ordinata all' origine della retta r è data dal termine noto (quello senza lettera) nell' equazione scritta in forma esplicita, cioè 1

d) 

L' equazione della retta parallela a r passante per l' origine degli assi cartesiani ha la forma

y=m⋅x ,

dove m è uguale al coefficiente angolare della retta r (le due rette devono essere parallele).

Dunque

y=-3x    ☺️

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Alla prossima lezione. Ciao, ti aspetto!

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