Sistemi Lineari: Letterali Interi e Letterali Fratti

Ultimo Aggiornamento: 27/08/2019

Esercizio 1

Risolvi e discuti questo sistema letterale intero, in cui x ed y sono le incognite e a è il parametro che viaria nell' insieme dei numeri reali (a ∈ R):

Fig. 1.1 sistema letterale intero assegnato

Svolgimento Es. 1

Scriviamo le due equazioni del sistema assegnato in forma esplicita:

Fig. 2.1 manipolazione algebrica

Esse rappresentano le equazioni di due rette.

Possiamo notare che per ogni valore reale del 

parametro a (∀ a ∈ R) le due rette sono incidenti, quindi il sistema possiede una sola soluzione (il sistema è determinato).

Andando avanti, si ha:

Fig. 3.1 manipolazione algebrica: sostituzione

Risolvo l' equazione di primo grado nell' incognita x ottenuta dopo la sostituzione:

Fig. 4.1 risoluzione dell' equazione di primo grado nell' incognita x

 Semplifico e ottengo x:

Fig. 5.1 soluzione dell' equazione di primo grado nell' incognita x

Di conseguenza, y = -2a

La soluzione del sistema è data dalla coppia (a, -2a)

Esercizio 2

Risolvi e discuti questo sistema letterale fratto, nelle incognite x ed y e parametro b ∊ R:

Fig. 1.2 sistema letterale fratto assegnato

Svolgimento Es. 2

Discutere questo sistema letterale significa studiare cosa succede al variare del parametro b.

Osservando il denominatore, b-x, della prima equazione, devo imporre che esso sia diverso da zero, dunque

b≠x .

Ora moltiplico primo e secondo membro della prima equazione del sistema per b-x, ottenendo un' equazione equivalente alla prima equazione del sistema assegnato:

Fig. 2.2 manipolazione della 1^ equazione del sistema

Dalla seconda equazione del sistema assegnato si ha che 
y = x+2.

Adesso metto l' espressione x+2 nella y dell' equazione di Fig. 2.2 (metodo di sostituzione):

Fig. 3.2 manipolazione algebrica: sostituzione

Vado avanti e semplifico:

Fig. 4.2  manipolazione algebrica: semplificazione

Moltiplico e vado avanti fino a ricavare l' espressione della x:

7b - b² + bx = 5x +10

bx - 5x = b² - 7b + 10

(b - 5)x = b² - 7b + 10

Ora, a patto che il valore di b sia diverso da 5 (b ≠ 5), dividiamo primo e secondo membro per b-5

Fig. 5.2 ricaviamo la x in funzione di b

Se b ≠ 5, allora x = b-2.

Siccome y = x + 2, 

y = b - 2 + 2 = b 

La soluzione è quindi data dalla coppia (b-2, b)

Se b ≠ 5, il sistema è determinato.

∀ b ∈ R ( b ≠ 5 ), notiamo che 

x = b - 2 rispetta la condizione x ≠ b

Se invece b = 5, il sistema assegnato diventa:

Fig. 6.2 metodo di sostituzione

Dopo la sostituzione, si ha

35 - 25 + 5x = 5(x+2)

10 + 5x = 5x + 10

0⋅x = 0

Questa equazione ha infinite soluzioni e dunque il sistema è indeterminato.