Massimi, Minimi e Flessi di una Funzione: Esercizi Svolti

Ultimo aggiornamento: 6/3/2022

Fig. 1  (Massimi, Minimi e Flessi delle Funzioni)

Come si trovano i massimi, i minimi e i flessi di una funzione?

Ciao! Sono Giuseppe.

In questo blog pubblico

esercizi svolti di matematica

per le scuole superiori e l' università.

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In questo tutorial, ti propongo 2 esercizi.

Ok, se mi segui, sarà tutto più semplice! 😃

L' esercizio n. 1 che svolgerò in questo tutorial 

chiede di...

Trovare, se esistono, massimi/minimi relativi e flessi della funzione

y = arctan(x)-x

Svolgimento

Si calcoli la derivata prima della funzione:

Fig. 2

Ti ricordo che la derivata prima della funzione

y=arctan(x)

è

Fig. 3

Studiamo la disequazione 

y' ≥ 0

per vedere in quali intervalli cresce la funzione.

Fig. 4

Questa disequazione è soddisfatta soltanto per

x=0

Per ogni (∀) valore di x≠0, si ha che la derivata prima della funzione è negativa:

Fig.5

Dunque la funzione, in questo caso particolare, è sempre decrescente.

In x=0 abbiamo una tangente orizzontale, perché per x=0 la derivata si annulla.

Adesso calcoliamo la derivata seconda della funzione:

Fig. 6

Studiamo ora la disequazione

y'' > 0

Fig. 7

Beh, la derivata seconda è positiva per valori negativi della x, è nulla per x=0, ed è negativa per valori positivi della variabile x.

Visualizziamo queste informazioni:

Fig. 8

Ecco, la fig. 8 ci dice che in corrispondenza di x=0, in cui si annulla anche la derivata prima, assistiamo ad un cambio di concavità; per questo motivo possiamo affermare che la funzione assegnata possiede un flesso a tangente orizzontale di coordinate

(0, arctan(0)-0)

cioè

(0,0)

Fig. 9

Prima di andare avanti col secondo esercizio, ci tengo a dirti che puoi imparare di più e finalmente puoi iniziare a migliorare i tuoi voti in matematica attraverso un' ampia raccolta di esercizi svolti e commentati da me in PDF stampabili. Sono centinaia e centinaia di esercizi per la scuola superiore! Il nome di questo mio ampio tutorial è

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Bene, torniamo agli esercizi!

L' esercizio n. 2 che svolgerò in questo tutorial chiede di... 

Trovare, se ci sono, i punti di massimo/minimo relativo della funzione

Fig. 10

Svolgimento

Il dominio (D) di questa funzione è dato dall' insieme dei numeri reali positivi, che scriviamo così:

D={x∊R|x>0}

Calcoliamo la derivata prima:

Fig. 11

Adesso studiamo la disequazione

y' ≥ 0

Fig. 12

Andiamo avanti...

Fig. 13

Adesso esaminiamo il segno del numeratore e quello del denominatore:

Fig. 14

Risolviamo queste due semplici disequazioni.

Iniziamo da...

Numeratore maggiore di zero (N>0):

Fig. 15

Come vedi nella fig. 15, l' equazione associata alla disequazione di secondo grado ci fornisce due radici: 

-2√3, +2√3

Risolvendo per via grafica la disequazione, otteniamo che il numeratore è positivo per valori della x che appartengono all'intervallo

]-2√3, +2√3[

(estremi esclusi)

Non dimentichiamo che il dominio della funzione è dato da tutti i valori reali positivi (>0) della x.

Ora tocca a...

Denominatore maggiore di zero (D>0):

Fig. 16

Il Denominatore, 2x, è positivo per x>0, banalmente!

"Graficando" le informazioni sui segni del Numeratore e del Denominatore, abbiamo:

Fig. 17

La parte corrispondente a x≤0 non ci interessa!

Il dominio della funzione sta tutto a destra dello zero (x>0).

Come si vede nella fig. 17, osservando soltanto la parte delle x positive, il numeratore è positivo per

x<2√3, è nullo per x=2√3, è negativo per x>2√3.

Il denominatore, invece, è positivo a destra dello zero.

Siamo così in grado di determinare il segno del rapporto tra numeratore (N) e denominatore (D), cioè il segno della derivata prima.

La fig. 17 ci mostra che la derivata prima (y') è positiva (funzione crescente) nell' intervallo in cui numeratore e denominatore hanno lo stesso segno; la derivata prima vale zero (tangente orizzontale) per x=2√3; per finire, la derivata prima è negativa (funzione decrescente) nell' intervallo in cui numeratore e denominatore hanno segni diversi.

Dunque la funzione assegnata presenta un punto di massimo relativo in x=2√3 

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Alla prossima lezione. Ciao, ti aspetto!

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