Come si applica il Principio di Induzione nelle dimostrazioni?
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In questo breve tutorial, ti propongo un esercizio molto interessante!
Eccolo:
Questa esercitazione è disponibile anche in PDF stampabile, sempre a portata di mano e consultabile tutte le volte che vuoi:
"n³ - n è un multiplo di 6, per n=1" è vero!
"n³ - n è un multiplo di 6, per n=2" è vero!
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"n³ - n è un multiplo di 6, per n=0" è vero!
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Iniziamo il nostro ragionamento!
Sia n il numero intero generico, dunque il suo successivo è n+1, mentre n-1 è il suo precedente.
Dobbiamo dimostrare, per induzione, che
(n-1)n(n+1) è un multiplo di 6, per ogni numero n intero.
Si ha che
(n-1)n(n+1) =
= n³ - n
Prima di continuare, voglio fare una premessa:
-------------------------------
cosa si intende per multiplo di un numero intero?
In generale, un intero m è multiplo di un intero n se e solo se esiste un intero h (compreso lo zero) tale che
m = n ⋅ h
(si legge: m è uguale ad h volte n)
In particolare, 0 è multiplo di 6 perché esiste un intero (zero) tale che
0 = 6 ⋅ 0
Possiamo inoltre dire che 6 è multiplo di se stesso perché esiste 1 tale che
6 = 6 ⋅ 1
Tutti i multipli interi di 6 sono del tipo
m = 6 ⋅ h, dove h è un intero qualunque (compreso lo zero)
Esempi:
6 ⋅ 0
6 ⋅ 1
...
...
m = 6 ⋅ h = h ⋅ 6
Se m è uguale ad h volte 6, dove h è un intero qualunque (compreso lo zero), allora m è un multiplo di 6
-------------------------------
Bene! Dopo avere ricordato cosa si intende per multiplo di un intero, possiamo andare avanti.
Se proviamo per n=0, abbiamo
0³ - 0 = 0 = 6⋅0 (multiplo di 6!)
Quindi
Ancora...
Se proviamo per n=1, abbiamo
1³ - 1 = 0 = 6⋅0 (multiplo di 6!)
Quindi
Facciamo un' altra prova...
Se proviamo per n=2, abbiamo
2³ - 2 = 6⋅1 (multiplo di 6!)
Quindi
E' chiaro che non possiamo fare infinite prove per verificare tutti i casi possibili!!
Dunque dobbiamo fare un ragionamento generale, efficace, che ci consenta di dimostrare la nostra proposizione, cioè che
(n³ - n) è un multiplo di 6, per ogni numero n intero.
Abbiamo provato per n uguale a zero, per n uguale a uno ed n uguale a due, ed effettivamente, per questi tre valori di n,
(n³ - n) è un multiplo di 6
Supponiamo che
(n³ - n) sia multiplo di 6 per n=k (k è un intero generico)
Se, partendo da questa ipotesi induttiva, arriviamo alla conclusione che
(n³ - n) è multiplo di 6 per n=k+1
allora, per effetto domino, si ha che
(n³ - n) è multiplo di 6 per OGNI n intero.
Provo a essere più chiaro:
se riesco a provare che
(n³ - n) multiplo di 6 per n=k (k è un intero generico)
IMPLICA
(n³ - n) è multiplo di 6 per n=k+1
allora
(n³ - n) multiplo di 6 per n=0
IMPLICA
(n³ - n) è multiplo di 6 per n=0+1=1
A sua volta
(n³ - n) multiplo di 6 per n=1
IMPLICA
(n³ - n) è multiplo di 6 per n=1+1=2
A sua volta
(n³ - n) multiplo di 6 per n=2
IMPLICA
(n³ - n) è multiplo di 6 per n=2+1=3
E così via, all' infinito...
Si potrà concludere che
(n³ - n) è multiplo di 6 per OGNI n intero
E allora andiamo subito a dimostrare che, facendo l' ipotesi che sia vero per n=k, è vero per il suo successivo n=k+1.
Partiamo dall' ipotesi che
(n³ - n) è un multiplo di 6 per n=k
Come possiamo scrivere questo fatto?
Possiamo scrivere così:
(k³ - k) = 6⋅h (h è un intero)
👆
questa è l' ipotesi!
Adesso vediamo cosa succede per
n=k+1 :
[(k+1)³ - (k+1)] =
= k³+3k²+3k+1-k-1 =
= k³-k+3k²+3k =
= k³-k+3k(k+1) =
per l' ipotesi induttiva
= 6h + 3k(k+1)
Riflettiamo adesso un momento sul prodotto
k(k+1)
Esso rappresenta il prodotto tra due interi consecutivi, quindi è il prodotto sicuramente tra un numero pari e un numero dispari (sono consecutivi!). Per questo motivo il prodotto
k(k+1)
fornisce senz' altro un numero pari, che può essere rappresentato come un multiplo di 2, così:
k(k+1) = 2m (m è un intero)
Dunque, per riprendere la catena delle uguaglianze interrotta prima, scriviamo
6h + 3k(k+1) =
= 6h + 3⋅2m =
= 6h + 6m =
= 6(h+m) (h+m è un intero)
Wow!! Meraviglia delle meraviglie, questo, ragazzi, è un multiplo di 6!
Quindi
(n³ - n) è multiplo di 6 per n=k+1
a partire dall' ipotesi che
(n³ - n) è multiplo di 6 per n=k (k generico)
e dunque
(n³ - n) è multiplo di 6 per ogni valore k che n può assumere.
Bene! Abbiamo visto un esempio di
come si applica il principio di induzione.
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