Derivata di una funzione: come si calcola la derivata di f^g

Ultimo aggiornamento: 26/02/2021

Fig. 1

In questa esercitazione vedremo 

come si calcola la derivata di una funzione del tipo f^g

dove f, la base, e g, l' esponente, sono funzioni derivabili, con f > 0

Ciao! Sono Giuseppe.
In questo blog parlo di matematica, e in particolare svolgo e commento esercizi per le scuole superiori e l' università.

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Esercizio

Calcola la derivata della funzione

y = [sin(x)]ˣ

Svolgimento

Trasformiamo l' equazione della funzione

y=[sin(x)]ˣ

in questa forma equivalente:

Fig. 2

Quindi, derivando la funzione in questa forma, si ha:

Dobbiamo derivare l' esponente della funzione scritta nella fig. 2, e poi moltiplicare per la funzione non derivata (così com' è).

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Bene, torniamo all' esercizio! 

Deriviamo l' esponente (espressione in verde):

Per quanto riguarda l' espressione in verde, abbiamo applicato la regola della derivata del prodotto di due funzioni; in questo caso, si tratta della derivata del prodotto

x⋅ln(sinx)

Andando avanti con la derivazione, si ottiene:

che possiamo riscrivere così:

y' = [ln(sinx)+x⋅cotanx]⋅[sin(x)]ˣ 

Questa che abbiamo ottenuto è la derivata che cercavamo. 😃

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