ESERCIZIO SVOLTO SULLO STUDIO DI FUNZIONE CON VALORE ASSOLUTO

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Oltre allo studio di funzione, l' esercizio chiede di trovare la funzione inversa.
Per scaricare lo svolgimento, fai clic QUI.

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ESERCIZIO SVOLTO SULLE EQUIVALENZE

IMPORTANTE : prima di scaricare l' esercizio, sostieni questo blog di matematica GRATUITA cliccando su "MI PIACE". Grazie!!

Mi sono reso conto che le equivalenze possono mettere in difficoltà anche una persona che ha una maturità scientifica alle spalle.
Ho preparato un esercizio svolto che puoi scaricare da QUI.

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ESERCIZIO SVOLTO DI ARITMETICA DELL' OROLOGIO

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A quanti secondi corrisponde un' ora e trentaquattro minuti?
Puoi scaricare l' esercizio svolto da QUI.

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ESERCIZIO SVOLTO SULLE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE (TRASLAZIONI)

Come si fa a scrivere l' equazione di una curva traslata, sapendo l' equazione della curva prima della traslazione?
Puoi scaricare lo svolgimento da QUI.

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PROBLEMA SVOLTO SULLO STUDIO DI FUNZIONE (APPLICAZIONI ALLA FISICA)

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Un interessante problema svolto sullo studio di funzione applicato alla fisica può essere scaricato da QUI.

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ESERCIZIO SVOLTO SULLO STUDIO DI FUNZIONE (APPLICAZIONI)

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Per risolvere un' equazione parametrica può essere utile tracciare i grafici delle funzioni in gioco, dopo averle studiate.
Puoi scaricare lo svolgimento da QUI.

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ESERCIZIO SVOLTO SUL SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE

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L' esercizio che ti propongo è di geometria piana, in cui interviene il II teorema di Euclide.
Puoi scaricare lo svolgimento da QUI.

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ESERCIZIO SVOLTO DI GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO (EQUAZIONI FRAZIONARIE E PARAMETRICHE DELLA RETTA)

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Lo svolgimento dell' esercizio che ho preparato per te può essere visualizzato e scaricato da QUI.

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ESERCIZIO SVOLTO DI GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO (GARA DI MATEMATICA)

IMPORTANTE : prima di scaricare l' esercizio, sostieni questo blog di matematica GRATUITA cliccando su "MI PIACE". Grazie!!

L' esercizio risolto che ti propongo è stato assegnato in una gara di matematica svoltasi presso Harvard-MIT (USA), nel 2005.
Puoi scaricare lo svolgimento da QUI.

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ESERCIZIO SVOLTO DI GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO

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L' esercizio svolto che ti propongo riguarda l' intersezione tra una retta ed un piano.
Puoi scaricare lo svolgimento da QUI.

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ESERCIZIO SVOLTO SULLO STUDIO DI FUNZIONI

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La funzione che ti propongo è di tipo esponenziale.
Puoi scaricare lo svolgimento da QUI.

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ESERCIZIO SVOLTO DI GEOMETRIA DELLO SPAZIO

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L' esercizio che ti propongo riguarda i solidi equivalenti.
Puoi scaricarlo da QUI.

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ESERCIZIO SVOLTO DI GEOMETRIA SOLIDA (LO SPAZIO)

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Puoi scaricare un esercizio carino su un cilindro circoscritto ad una sfera da QUI.

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PROBLEMA SVOLTO DI GEOMETRIA ANALITICA CON STUDIO DI FUNZIONE

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Ti propongo un problema risolto che conduce allo studio di una funzione, che tiene conto di alcune limitazioni, per la variabile indipendente, imposte dalle geometrie in gioco.
Puoi scaricare lo svolgimento da QUI.

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ESERCIZIO SVOLTO: DAL GRAFICO DI UNA FUNZIONE AL GRAFICO DELLA SUA DERIVATA

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L' esercizio che ho svolto per te può essere scaricato da QUI.

CONSIGLIO: molti altri esercizi e problemi svolti che possono esserti utili sono scaricabili gratuitamente da questa pagina.

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ESERCIZIO SVOLTO DI GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO

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L' esercizio che ti propongo è stato assegnato in una gara di matematica svoltasi negli U.S.A. presso la Florida Atlantic University.
Puoi scaricare lo svolgimento da QUI.

CONSIGLIO: molti altri esercizi e problemi svolti che possono esserti utili sono scaricabili gratuitamente da questa pagina.

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ESERCIZIO SVOLTO DI GEOMETRIA NELLO SPAZIO (GARA DI MATEMATICA)

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L' esercizio svolto che ti propongo è stato assegnato negli U.S.A. in una gara di matematica.
Puoi scaricare il testo e lo svolgimento da QUI.

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OLIMPIADI DI MATEMATICA, II LIVELLO: ESERCIZIO SVOLTO DI GEOMETRIA SOLIDA (LO SPAZIO)

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L' esercizio che ti propongo è stato assegnato in una gara di matematica di II livello alle Olimpiadi del 2006. Il solido in esame è una piramide.

Puoi scaricare lo svolgimento da QUI.

CONSIGLIO: molti altri esercizi e problemi svolti che possono esserti utili sono scaricabili gratuitamente da questa pagina.

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ESERCIZIO SVOLTO SULLA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DEI POLINOMI

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L' esercizio svolto che ti propongo è stato assegnato in una gara di matematica per studenti di Scuola Superiore, svoltasi negli USA presso la Lehigh University, nel 2001.
Per scaricare lo svolgimento, fai clic QUI.
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ESERCIZIO SVOLTO SULLO STUDIO DI FUNZIONI

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La funzione che ti propongo è y=arctan[(2-x)/(4-x)].
Puoi scaricare lo svolgimento da QUI.
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MATIMPATICA, LA MATEMATICA SIMPATICA: APOTEMA DI UN ESAGONO

Proviamo a sorridere un pò.
Guarda questo brevissimo video che ho realizzato sull' esagono e le api:

ESERCIZIO SVOLTO SULLO STUDIO DI FUNZIONE

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La funzione che ti propongo è goniometrica.
Puoi scaricare lo svolgimento da QUI.
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ESERCIZIO SVOLTO SUGLI ASINTOTI OBLIQUI

Quando la funzione è del tipo y=A(x)/B(x), con A(x) e B(x) due polinomi e
grado[A(x)]-grado[B(x)]=1, allora c' è un modo diverso dal solito per individuare l' asintoto obliquo.
Ti ho preparato un esercizio svolto che puoi scaricare da QUI.
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PROBLEMA SVOLTO DI GEOMETRIA CON STUDIO DI FUNZIONE

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Ho svolto volutamente solo la parte del problema che serve alla determinazione della funzione da studiare.
Lo studio della funzione che deriva dal problema geometrico è abbastanza semplice ed è lasciato allo studente. Puoi scaricare lo svolgimento da QUI.
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ESERCIZIO SVOLTO SULLO STUDIO DI FUNZIONE

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Un interessante esercizio chiede di ricavare l' espressione analitica di una funzione, di cui si conoscono alcune caratteristiche. Lo puoi scaricare da QUI.
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ESERCIZIO SVOLTO SULLO STUDIO DI FUNZIONE IRRAZIONALE

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Lo studio di funzione è un argomento fondamentale dell' analisi matematica che si studia all' ultimo anno delle Superiori. Ti propongo uno studio, abbastanza completo, di una funzione irrazionale, che puoi scaricare da QUI.
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PROBLEMA DI MASSIMO E DI MINIMO (U.S.A. RICE UNIVERSITY)

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Nel 2005 è stato assegnato per una gara di matematica presso la Rice University, negli U.S.A., il problema di massimo e di minimo che ti propongo, da me svolto. Il testo e lo svolgimento possono essere scaricati da QUI.
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Divisione tra due Polinomi: Esercizi Svolti

Ultimo aggiornamento: 28/04/2020

Fig. 0

Come si fa la divisione tra due polinomi a coefficienti numerici?

Come si fa la divisione tra due polinomi a coefficienti letterali?

Ciao! Sono Giuseppe.
In questo blog parlo di matematica, e in particolare svolgo e commento esercizi per le scuole superiori e l' università.

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In questo tutorial, ti propongo 2 esercizi svolti.

Divisione tra polinomi

Esercizio 1

Esegui la 

divisione tra due polinomi:

Fig. 1

Svolgimento

Come prima cosa, occorre riscrivere in forma completa e ordinata sia il polinomio dividendo sia il polinomio divisore, per poter eseguire l' 

algoritmo della divisione tra due polinomi.

Fig. 2

-7x² è dato dalla divisione del 1° termine del polinomio dividendo per il 1° termine del polinomio divisore.

Adesso osserviamo il polinomio che nella fig. 2 compare sotto il dividendo.

Il suo 1° termine è l' opposto del prodotto del 1° termine del polinomio quoziente per il 1° termine del divisore.

Il suo 2° termine è l' opposto del prodotto del 1° termine del polinomio quoziente per il 2° termine del divisore.

Il suo 3° termine è l' opposto del prodotto del 1° termine del polinomio quoziente per il 3° termine del divisore. Poiché viene 

0⋅x³ ,

questo termine, in pratica, non ha un opposto e dunque scriviamo semplicemente...(v. fig. 2)

+0⋅x³ , proprio sotto il termine 

+0⋅x³ del dividendo.

Il 4° termine del polinomio evidenziato in marrone è l' opposto del prodotto del 1° termine del polinomio quoziente per il 4° termine del divisore.

 Fig. 3

Il polinomio verde che vediamo nella fig. 3 è dato dalla somma algebrica tra il dividendo e il polinomio evidenziato in marrone.

Il secondo termine del polinomio quoziente,

-10x , è dato dalla divisione del 1° termine del polinomio verde per il 1° termine del polinomio divisore.

Fig. 4

Guardiamo ora il polinomio evidenziato in celeste della fig. 4.

Il suo 1° termine è l' opposto del prodotto del 2° termine del polinomio quoziente per il 1° termine del divisore.

Il suo 2° termine è l' opposto del prodotto del 2° termine del polinomio quoziente per il 2° termine del divisore.

Il suo 3° termine è l' opposto del prodotto del 2° termine del polinomio quoziente per il 3° termine del divisore. Viene 

0⋅x² ,

e dunque mettiamo semplicemente 

+0⋅x² sotto il termine -7x² del polinomio verde di fig. 4

Il 4° termine del polinomio evidenziato in celeste è l' opposto del prodotto del 2° termine del polinomio quoziente per il 4° termine del divisore.

Il polinomio in giallo della fig. 4 è dato dalla somma algebrica tra il polinomio verde e il polinomio celeste.

Fig. 5

Il terzo termine del polinomio quoziente,

-20 , è dato dalla divisione del 1° termine del polinomio in giallo per il 1° termine del polinomio divisore.

Guardiamo ora il polinomio evidenziato in grigio scuro della fig. 5.

Il suo 1° termine è l' opposto del prodotto del 3° termine del polinomio quoziente per il 1° termine del divisore.

Il suo 2° termine è l' opposto del prodotto del 3° termine del polinomio quoziente per il 2° termine del divisore.

Il suo 3° termine è l' opposto del prodotto del 3° termine del polinomio quoziente per il 3° termine del divisore. Siccome il prodotto viene 

0⋅x ,

mettiamo semplicemente

+0⋅x sotto il termine -10x del polinomio in giallo.

Il 4° termine del polinomio in grigio scuro è dato dall' opposto del prodotto del 3° termine del polinomio quoziente per il 4° termine del divisore.

Il polinomio 

33x²-10x-22  (fig. 5 )

è dato dalla somma algebrica tra il polinomio in giallo e il polinomio in grigio scuro.

Dato che il grado di quest' ultimo polinomio è 2, che è minore del grado del divisore (3), 

il polinomio resto è proprio

R(x)=33x²-10x-22 .

Il polinomio quoziente è

Q(x)=-7x²-10x-20

Questa è la

divisione con resto tra due polinomi:

Fig. 6

Per fare la verifica, cioè per vedere se abbiamo fatto bene i conti, il polinomio dividendo deve essere uguale alla somma tra il prodotto del polinomio divisore per il polinomio quoziente e il polinomio resto:

Fig. 7

Sviluppando e semplificando il 2° membro di fig. 7, otteniamo proprio il polinomio dividendo.

Adesso passiamo al 2° e ultimo esercizio di questo tutorial.

Esercizio 2

Esegui la 

divisione tra due polinomi a coefficienti letterali:

Fig. 8

Sia x l' indeterminata di riferimento dei due polinomi.

Svolgimento

Come abbiamo visto nell' esercizio precedente, dobbiamo eseguire l' algoritmo della divisione riscrivendo il polinomio dividendo e il polinomio divisore in modo ordinato e completo, stando, in questo caso, attenti al numero dei termini in gioco.

Fig. 9

Nella fig. 9 qui sopra, possiamo vedere l' algoritmo eseguito secondo il procedimento indicato nell' esercizio precedente.

Notiamo che il numero dei termini del polinomio divisore, scritto in forma completa, è n+1.

Abbiamo un 

polinomio quoziente:

Q(x) = xⁿ⁺¹ - yⁿ⋅x

Osservando Q(x), ti faccio notare che -yⁿ è il coefficiente letterale di x.

E abbiamo un 

polinomio resto:

R(x) = y²ⁿ⋅x + y²ⁿ⁺¹

Osservando R(x), ti faccio notare che y²ⁿ è il coefficiente letterale di x e y²ⁿ⁺¹ è il coefficiente letterale di x⁰

Perché questo R(x) è il polinomio resto?

Perché il suo grado è 1 (ti ricordo che l' indeterminata è x, non y), e 1 è minore, lo dice l' esercizio, di n (il grado del divisore).

Quindi, poiché 

grado[R(x)] < grado(xⁿ+yⁿ) ,

R(x) è il polinomio resto della divisione.

Nella fig. 10 qui sotto, facciamo uno zoom sui termini del polinomio divisore, compresi quelli coi coefficienti nulli.

Fig. 10

Nella fig. 11 qui sotto,  facciamo uno zoom anche sui termini del polinomio dividendo, compresi quelli coi coefficienti uguali a zero.

Fig. 11

Lo "zoom" fatto sui termini dei due polinomi, dividendo e divisore, aiuta a capire meglio perché l' algoritmo viene eseguito nel modo indicato in fig. 9.

Anche questa volta possiamo fare la verifica, cioè per vedere se abbiamo fatto bene i conti, il polinomio dividendo deve essere uguale alla somma tra il prodotto del polinomio divisore per il polinomio quoziente e il polinomio resto:

Fig. 12

Sviluppando e semplificando l' espressione di fig. 12, otteniamo proprio il polinomio dividendo.

Fig. 13

Evviva!! 

Se ti è piaciuto questo tutorial di matematica, fai clic su MI PIACE, condividi questo blog e dai un' occhiata ai link che trovi qui sotto: 

troverai un' ampia raccolta di esercizi svolti e spiegati sugli argomenti più importanti che si studiano durante i cinque anni di scuola superiore. 

Alla prossima lezione. Ciao, ti aspetto!

👇👇👇

Impara di più >

Guarda questa esercitazione in video:

PROBLEMA DI MASSIMO E DI MINIMO (GARA DI MATEMATICA PRESSO HARVARD-MIT)

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Nel 2003, durante una gara di matematica organizzata presso Harvard-MIT, negli U.S.A., è stato assegnato un esercizio, che ho svolto per te, di massimo e di minimo applicato alla geometria analitica. Puoi scaricare lo svolgimento da QUI.
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PROBLEMA SVOLTO DI MASSIMO E DI MINIMO

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Ti propongo un problema svolto di massimo e di minimo che ci viene dalla geometria analitica.
Lo puoi scaricare da QUI.
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PROBLEMA SVOLTO DI MASSIMO E DI MINIMO (GEOMETRIA PIANA)

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Un esercizio di massimo e di minimo ci viene dalla geometria piana. La figura principale su cui si lavora in questo esercizio è il rombo. Puoi scaricare lo svolgimento da QUI.
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ESERCIZIO RISOLTO DI MASSIMO E DI MINIMO

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Un problema di massimo e di minimo ci viene dalla geometria solida e può essere scaricato da QUI.
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MAT(I)M(P)ATICA, LA MATEMATICA SIMPATICA :)

Simpatico CODOMINIO di una funzione: clicca qui

Coordinate Polari: Equazione di una Retta non passante per l' origine

Ultimo Aggiornamento: 16/04/2020

Cosa sono le coordinate polari?

Come si scrive l' equazione di una retta in coordinate polari?

Come si disegna una retta a partire dalla sua equazione in forma polare?

Ciao! Sono Giuseppe.
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In questo tutorial, ti propongo 3 esercizi svolti.

Ricordiamo velocemente cosa sono le coordinate polari e come possono aiutare a individuare un punto sul piano.

Fig. 1

Il punto P che vediamo sul piano nella fig. 1 può essere individuato anche da coordinate diverse da quelle cartesiane.

P ha una distanza r dal punto di intersezione O degli assi cartesiani (che possiamo far coincidere col cosiddetto polo del sistema polare) e il segmento OP forma un angolo α col semiasse positivo delle ascisse (che possiamo far coincidere col cosiddetto asse polare).

Ogni punto P del piano della fig. 1 è individuabile dalla sua distanza r dal polo O e dall' angolo α che il segmento OP forma con l' asse polare.

r si chiama modulo ed α viene detto argomento.

Ecco le relazioni che intercorrono tra le coordinate polari di un punto P e le sue coordinate cartesiane:

P(r, α), P(x, y)

x=r⋅cosα

y=r⋅sinα

Adesso vediamo un altro modo per individuare una qualunque retta giacente sul piano e non passante per l' origine.

Ogni retta del piano non passante per l' origine ha una sua distanza d dal polo O e il segmento orientato OK (K è il punto di intersezione tra la retta e la sua perpendicolare passante per O) forma un angolo θ con l' asse polare.

Osserva le figure 2, 3 e 4.

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

Bene! Forti di queste considerazioni, scopriamo come si scrive, in coordinate polari, l' equazione di una retta del piano non passante per l' origine.

Fig. 5

Osservando la fig. 5, in particolare il triangolo rettangolo OKP, possiamo scrivere che il cateto OK, la cui lunghezza è d, è uguale al prodotto dell' ipotenusa, r, per il coseno dell' angolo adiacente (adiacente al cateto OK).

L' angolo adiacente è α-θ (fig. 5)

Equazione di una retta in coordinate polari

Dunque l' equazione, in forma polare, di una retta non passante per l' origine è:

d=r⋅cos(α-θ)

Ti faccio notare che, siccome il coseno è una funzione goniometrica pari, possiamo anche scrivere

d=r⋅cos(θ-α)

Qui sotto, nella fig. 6, puoi vedere un esempio particolare di retta che dista 4 dal polo O e il cui segmento orientato OK forma con l' asse polare un angolo di π/3 radianti.

Fig. 6

Esercizi svolti sulle coordinate polari

Iniziamo a svolgere gli esercizi.

Esercizio 1

Trova l' equazione di una retta che forma con l' asse polare un angolo di 5π/6 e dista 2 dal polo.

Svolgo

Nella figura qui sotto, disegno una delle rette possibili. Perché? Lo vedremo tra un po'.

Fig. 7

Qui dobbiamo fare attenzione! 

L' angolo di cui parla il testo dell' esercizio è l' angolo che la retta forma con l' asse polare, non l' angolo che forma il suo segmento orientato OH con l'asse polare.

Osservando la figura 7 e giocando con la geometria del problema, è facile ricavare l' angolo θ (indicato in verde nella fig. 7).

Riprendiamo l' equazione in forma polare di una retta generica non passante per l' origine:

d=r⋅cos(θ-α)

Quanto vale d ?

d=2

Quanto vale θ, secondo la figura 7 ?

θ=π/3

Equazione di una retta in forma polare

Quindi, sostituendo, abbiamo l' equazione richiesta:

2=r⋅cos(π/3-α)

La domanda che voglio farti adesso è : c' è un' altra retta che dista 2 dal polo e forma con l' asse polare un angolo di 5π//6?

La risposta è sì, e la puoi guardare nella fig. 8 qui sotto:

Fig. 8

Le due rette ottenute sono parallele tra loro, entrambe distano 2 dal polo, ma hanno differenti angoli formati dai loro rispettivi segmenti orientati OK con l' asse polare.

Esercizio 2

Sia 

r⋅sin(π/6-α)=3

l' equazione polare di una retta. Si chiede di disegnarla e di trovare la sua equazione cartesiana.

Svolgo

Abbiamo visto in questo tutorial che la forma polare dell' equazione di una retta non passante per l' origine è questa:

d=r⋅cos(α-θ)

Beh, l' equazione della retta assegnata non è proprio in quest' ultima forma!

Come si fa?

Andiamo a chiedere un favore agli archi associati,☺️
che molto gentilmente ci danno una mano.

Sappiamo che 

Fig. 9

Perché ti ho fatto vedere questo?

Perché vogliamo trasformare sin(π/6-α) della nostra equazione assegnata nella forma 
cos(α-θ).

Ora, il nostro angolo φ, che vediamo in fig. 9, è 
π/6-α.

Seguendo la relazione che ho scritto in fig. 9, abbiamo che

Fig. 10

Wow! Meraviglia delle meraviglie, abbiamo la possibilità di riscrivere l' equazione della retta assegnata nella forma che volevamo.

Eccola:

      r⋅sin(π/6-α)=3

Fig. 11

3 è la distanza della retta dal polo O.

θ=-π/3 è l' angolo (negativo perché percorso in senso orario) formato dal segmento orientato OK e l' asse polare.

Con questi due valori, d e θ, abbiamo potuto disegnare la retta cercata (fig. 11).

Per ottenere l' equazione nella forma cartesiana, possiamo sviluppare, sfruttando la formula di sottrazione del seno, l' equazione assegnata all' inizio dell' esercizio:

r⋅sin(π/6-α)=3

Fig. 12

Eccola qui: questa che abbiamo trovato adesso è l' equazione cartesiana in forma esplicita.

E ora tocca al 3° e ultimo esercizio di questo tutorial:

Esercizio 3

Disegnare la retta che ha questa equazione nella forma polare:

r⋅cos(α+2π/3)=-1

Svolgo

Come nell' esercizio precedente, dobbiamo ricondurre la nostra equazione assegnata alla forma

d=r⋅cos(α-θ)

Come facciamo?

Come prima cosa, riscriviamo l' equazione assegnata in questo modo:

r⋅[-cos(α+2π/3)]=1

Adesso chiediamo di nuovo aiuto agli archi associati. Sappiamo che

-cosφ=cos(π-φ)

Giocando con la circonferenza goniometrica e gli angolini puoi facilmente ricavare l' ultima relazione che ho scritto.

Come prima, seguimi anche in questo ragionamento. Guarda qui:

-cosφ=cos(π-φ)

-cos(α+2π/3)=cos[π-(α+2π/3)]=

                     =cos[π-α-2π/3]=

                     =cos[π/3-α]

Dunque la nostra equazione assegnata diventa:

r⋅[-cos(α+2π/3)]=1

r⋅cos(π/3-α)=1

Bene, avendo l' equazione in questa forma, possiamo agevolmente disegnarla:

Fig. 13

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Alla prossima lezione. Ciao, ti aspetto!

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