Funzioni: esercizi svolti di Matematica per la quinta superiore

In questa esercitazione di matematica, pensata per gli studenti del 5° anno di scuola superiore, vedremo lo svolgimento di almeno 8 esercizi dedicati alle funzioni: periodo di una funzione, funzione inversa, dominio e codominio etc.

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Funzioni periodiche: che cosa sono?

Vediamo, con un linguaggio semplice e molto pratico, alcuni elementi teorici.

Fig. 0.1

Una funzione si dice periodica, di periodo T > 0, se esiste una porzione del suo grafico che si ripete, sia a sinistra sia a destra, ogni volta che si compie, sull' asse x, un "passo" di lunghezza T.

Il periodo T è quel passo minimo che si deve compiere sull' asse delle ascisse, sia verso sinistra sia verso destra, per vedere replicata la porzione di grafico.

Nella fig. 0.1, la funzione di colore fucsia è periodica perchè esiste una porzione del suo grafico, un segmento inclinato, che si ripete identico ad ogni "passo" T, sia verso destra sia verso sinistra.

Un punto P(x, y) del grafico di una funzione periodica, di periodo T, ha il suo clone, la sua copia, nel punto P'(x + kT, y), dove k ∈ Z.

P' appartiene al grafico della funzione y = f(x) e le sue coordinate soddisfano l' equazione della funzione, pertanto si ha:

f(x) = f(x + kT), per ogni numero intero relativo k ( ∀ k ∈ Z ).

Se hai dubbi, osservazioni, non esitare a lasciare  un commento qui sotto ✍✍✍

Andiamo a vedere che cosa ci chiede il 1° esercizio.

Ex. 1 di 8

Calcolare il periodo di questa funzione, dopo averla semplificata:

y = 4sin(4x)cos(4x) + cos(6x)

Utilizzerò un metodo che a me piace molto, anche se può sembrare lungo.

Ve ne parlo perchè lo ritengo istruttivo.

Esso mostra cosa succede in profondità e conferma la bontà dell' ormai famosa regoletta del minimo comune multiplo che trovate sui libri.

Questo metodo si basa sul fatto che

f(x) = f(x+T),  T > 0

Prima di tutto, facciamo qualche utile "manipolazione".

y = 4sin(4x)cos(4x) + cos(6x)

può essere riscritta così:

y = 2•2sin(4x)cos(4x) + cos(6x)  

Adesso poniamo la nostra attenzione sull' espressione del prossimo rigo evidenziata in verde:

y = 2•2sin(4x)cos(4x) + cos(6x)

Che cosa ti ricorda questa epressione in verde?

La formula di duplicazione del seno:

sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

Dunque si ha:

y = 2sin(8x) + cos(6x) = f(x)

Se non ti è chiaro qualcosa, fammi sapere nei commenti, e proverò a risponderti compatibilmente con tutti gli altri miei impegni.

Andiamo avanti!

Ora scriviamo f(x+T):

f(x+T) = 2sin[8(x + T)] + cos[6(x + T)]  

Poichè f(x) = f(x+T), scriviamo:

2sin(8x) + cos(6x) = 2sin[8(x + T)] + cos[6(x + T)]

A questo punto, sviluppiamo il secondo membro e poi lo poniamo uguale al primo membro.

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   2sin[8(x + T)] + cos[6(x + T)] =

= 2sin(8x + 8T) + cos(6x + 6T) =

...applicando le formule di addizione del seno e coseno...

= 2sin(8x)cos(8T) + 2cos(8x)sin(8T) + cos(6x)cos(6T) - sin(6x)sin(6T) 

Adesso poniamo quest' ultima espressione, cioè f(x+T), uguale all' espressione di f(x):

 

Confrontando le due espressioni, f(x) con f(x+T), esse sono uguali se

I                                                           II

E' chiaro?

Ora, facendoci aiutare dalla circonferenza goniometrica, ragioniamo come segue.




Guardando il sistema I, quello a sinistra qui sopra, ci domandiamo quali sono gli "angoli" 8T che hanno coseno uguale a 1 e seno uguale a zero.

Inoltre, guardando il sistema II, quello a destra qui sopra, ci domandiamo quali sono gli "angoli" 6T che hanno coseno uguale a 1 e seno uguale a zero.

Le risposte alle due precedenti domande si trovano nella figura qui sotto:

fig 1.1

La scelta di utilizzare due parametri differenti, h e k, è dettata dal fatto che l' "angolo" 6T "gira" indipendentemente dall' "angolo" 8T.

D' accordo?

Cosa possiamo dire?

T è multiplo di 45° (π/4) ed è anche multiplo di 60° (π/3).

T è dunque multiplo comune di 45° e 60°.

Ricordiamo inoltre che T deve essere positivo ed è anche quel "passo" minimo da compiere sull' asse x per vedere replicata la porzione di grafico di cui abbiamo parlato prima.

Ma allora è proprio vero 😉 che dobbiamo calcolare il minimo comune multiplo di 45° e 60° !!

Il m.c.m cercato è 180°, quindi T = π

Andiamo al 2° esercizio.

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Prima di affrontare l' esercizio n. 2, vediamo brevemente come si disegnano i grafici delle funzioni inverse e perchè.

Il grafico della funzione inversa di y=f(x), ammesso che f sia invertibile, è il simmetrico del diagramma di f(x) rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.

Sì, d' accordo, ma perchè?

L' equazione di questa bisettrice è y=x.



Questa rappresentazione sagittale (a frecce) ci mostra che la f  agisce sull' elemento x e gli associa l' elelmento y; mentre la f⁻¹ agisce sull' elemento y e gli associa l' elelmento x.

Se f è biunivoca, allora essa è invertibile, e viceversa.

Dalla rappresentazione a frecce, passiamo a quella cartesiana:



P(x,y) è il punto generico del grafico della funzione y=f(x).

Il suo simmetrico, P', rispetto alla bisettrice del I e III quadrante disegnata in figura, ha coordinate (y,x), che è proprio un punto del grafico di y=f⁻¹(x).

Dunque il grafico della funzione f(x) e quello della sua inversa, f⁻¹(x), sono simmetrici rispetto alla bisettrice di equazione y=x.

Ex. 2 di 8

Trovare la funzione inversa della funzione y=x³ e disegnarla.

Scopo di questo esercizio non è quello di far vedere perchè questa funzione assegnata è invertibile, ma soltanto mostrare come si trova la sua funzione inversa e come si disegna.

Come prima cosa, si estrae la x:

x = ∛y  ;

e poi si rinominano le variabili (la x diventa y, e la y diventa x):

y = ∛x  (questa è la funzione inversa della funzione y=x³)

Nel disegno qui sotto, trovi in rosso il grafico di y=x³ e in blu quello di y = ∛x.

Il grafico blu, cioè il grafico della funzione inversa, si ricava "simmetrizzando" il grafico rosso, della funzione da invertire, rispetto alla bisettrice del I e III quadrante, disegnata in verde.




Prima di passare al 3° quesito, dai un' occhiata alle mie raccolte di esercizi che ho ampiamente svolto e commentato:

Ex. 3 di 8

In questo video faccio una panoramica veloce sulle Funzioni, con qualche esempio relativo ai seguenti punti: 1) definizione di funzione; 2) funzioni numeriche; 3) dominio e codominio; 4) notazione sulle funzioni; 5) come si classificano le funzioni numeriche; 6) esempio di funzione definita per casi.

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Ex. 4 di 8

In questo video (1^ parte) faccio vedere come si determinano i domini di cinque funzioni:
una funzione polinomiale, una funzione razionale fratta, e funzioni irrazionali(anche con valore assoluto).

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Ex. 5 di 8

In questo video (2^ parte) faccio vedere come si determinano i domini di altre 4 funzioni: una funzione logaritmica, funzioni esponenziali, una, in particolare, è una potenza con esponente reale.

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Ex. 6 di 8

In questo video (3^ parte) faccio vedere come si determinano i domini di 4 ulteriori funzioni.
In particolare, si affronta una funzione potenza con base ed esponente variabili e altre tre funzioni composte in cui sono presenti anche funzioni goniometriche e logaritmiche.

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Andiamo avanti col 7° esercizio.

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Ex. 7 di 8

Troviamo il codominio della seguente funzione:

y = ln( 2 - x )

Beh, potrei disegnare il grafico di questa funzione e vedere il campo di variabilità della y (così si chiama il codominio di una funzione), ma voglio seguire un approccio algebrico.

Il dominio di questa funzione è dato da

2 - x > 0  →  x < 2

Ora ricavo la x dall' espressione analitica della funzione assegnata di cui si vuol trovare il codominio:


y = ln( 2 - x )  →  




Qualunque sia il valore di y, x è minore di 2, perchè eˠ è sempre positivo.

D' accordo?
Se non ti è chiaro qualcosa, sfrutta la sezione dei commenti; proverò a risponderti compatibilmente con tutti gli altri miei impegni.

Ecco, poichè y può assumere qualunque valore reale, il codominio ( C ) cercato è tutto R.

C = R

Ex. 8 di 8

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Quest' ultimo esercizio è stato assegnato come quesito della prova scritta di matematica all' esame di Stato di qualche anno fa.

Dice così:

Se f(x) = 2ˣ ,  mostra che 

a) f(x+3) - f(x-1) = 7,5•f(x);

b) f(x+3)/f(x-1) = f(4)

Prima di tutto, scriviamo che 

f(x+3) = 2ˣ⁺³

f(x-1) = 2ˣ⁻¹

f(4) = 2⁴

Vediamo il punto a)

Guardando l' ultima uguaglianza, è evidente che il 1° membro sia uguale al 2° membro!

Adesso è il turno del punto b)




Poichè 3-(-1) = 4, anche questa volta il 1° membro è uguale al 2° membro!

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Ciao, a presto!