Equazioni e Disequazioni con Valore Assoluto: esercizi svolti

ultimo aggiornamento: 01 12 2020

In questa esercitazione, vedremo lo svolgimento, nei dettagli, di 3 esercizi di matematica per le Superiori; in particolare affronteremo 2 equazioni e 1 disequazione con valore assoluto.

Imparerai a risolvere, col giusto metodo, equazioni e disequazioni in cui sono presenti queste "cose strane" che si chiamano valori assoluti, o moduli, e che fanno sembrare orribili le dis-equazioni. 😲

Tranquilli, se mi seguite, sarà tutto più semplice! 😃

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Esercizio 1 di 3

Come si risolve un' equazione col valore assoluto

Risolvere questa equazione:

2•|3+x| + 3x = |x-1| - 4x

Ricordiamo la definizione di valore

assoluto e poi facciamo un esempio:

Fig. 1.1

Questa scrittura che vedi nella

figura 1.1 significa che il valore

assoluto di a (argomento) è uguale

ad a, se a è maggiore o uguale a

zero,

oppure

il valore assoluto di a (argomento) è uguale a  - a, se a è minore di zero.


Proviamo a fare un primo esempio

attribuendo ad a il valore -7.
Calcoliamo, seguendo la definizione

di fig. 1.1, il valore assoluto di -7:

| -7 | = -( -7) = 7, perchè -7 < 0

E quanto vale | 7 | ?
L' argomento, questa volta, è 7 ( ≥ 0 ), quindi | 7 | = 7

Esempio:

Fig. 1.2

Nella fig. 1.2 non abbiamo fatto altro

che applicare la definizione di

valore assoluto (modulo), che vedi

nella figura 1.1, per "sciogliere",

diciamo così, il valore assoluto di

x - 1 .

In pratica, possiamo “sciogliere”

il valore assoluto di x - 1,

scrivendo che

|x - 1|=x - 1, se x - 1 ≥ 0,

cioè se x ≥ 1

oppure

|x - 1|= - (x - 1) = -x + 1,

se x - 1 < 0,

cioè se x < 1

Non spaventatevi, perchè faremo

degli esercizi più sostanziosi,

e così capiremo meglio.

Studiamo il segno di ogni

espressione “ingabbiata” nel

valore assoluto (  | … |  )

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Torniamo al nostro 1° esercizio.

Ci conviene studiare il segno di ogni

espressione “ingabbiata” nel

valore assoluto (  | … |  ).

Riprendiamo la nostra equazione:

2•|3+x| + 3x = |x-1| - 4x

Le espressioni ingabbiate nel valore

assoluto sono 3+x e x-1, di cui

studieremo il segno.

3+x > 0 ⟶ x > -3
x-1 > 0 ⟶ x > 1

Facciamo il grafico con le linee dei

segni:

Fig 1.3

L' argomento del primo valore

assoluto, 3+x, è positivo per

x > -3, è negativo per x < -3

e nullo per x = -3.
L' argomento del secondo

valore assoluto, x-1, è

positivo per x > 1, è negativo
per x < 1 e nullo per x = 1.

Stando alla definizione di figura 1.1,

possiamo "sciogliere" i valori

assoluti della nostra equazione

assegnata in questo modo:

eq.1:

2•[-(3+x)] + 3x = -(x-1) - 4x

ed x < -3

oppure

eq.2:

2•(3+x) + 3x = -(x-1) - 4x

e -3 ≤ x < 1

oppure

eq.3:

2•(3+x) + 3x = x-1 - 4x

ed x ≥ 1

Risolviamo queste tre equazioni,

tenendo conto delle loro rispettive

restrizioni sulla x.

Se hai dubbi, osservazioni, non esitare a lasciare  un commento qui sotto ✍✍✍







Perché c' è la faccetta triste?
Perché 7/6 non è minore di -3

(7/6 non è accettabile!)



Qui la faccina è allegra perchè -1/2 è compreso tra -3 e 1, quindi x = -1/2 è accettabile.





Anche -7/8 non si può accettare. Perchè?

Per concludere il discorso sull' equazione del 1° esercizio, la sua soluzione è x = -1/2.

Avanti con l'

Esercizio 2 di 3

Come si risolve un' equazione col valore assoluto

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Risolviamo questa seconda equazione:

Beh, diciamo subito che x ≠ 1, perché

altrimenti si azzera il denominatore,

|1-x|.

Studiamo il segno di ogni

espressione “ingabbiata” nel

valore assoluto.

x > 0
2 + x > 0 ⟶ x > -2
1 - x > 0 ⟶ x < 1

Facciamo il grafico con le linee dei

segni:

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Stando alla definizione di figura 1.1,

possiamo "sciogliere" i valori assoluti

della nostra equazione assegnata in

questo modo:

oppure

oppure

oppure

Risolviamo queste quattro equazioni,

tenendo conto delle loro rispettive

restrizioni sulla x.






Andiamo avanti:



La faccina è triste perchè 4/3 NON è minore di -2. La condizione, qui, è x < -2

4/3 NON è accettabile! 

Ancora avanti:








Perché 0 e 1/2, qui, sono entrambi inaccettabili?

Perché non soddisfano la condizione -2 ≤ x < 0


Prima di andare avanti con la terza equazione e le sue restrizioni sulla x, ti chiedo se stai cercando una buona e poco costosa calcolatrice grafica senza calcolo simbolico.
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Come vedi, adesso siamo autorizzati ad accettare x=0 come soluzione, perchè soddisfa la condizione
0 ≤ x < 1

Procediamo verso la quarta equazione.

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Anche 2 è accettabile perché

2 > 1

Concludiamo dicendo che l' equazione coi valori assoluti del nostro secondo esercizio ha le seguenti soluzioni:

x = 0 , x = 2

Tra un po' affronteremo una disequazione coi valori assoluti.


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Esercizio 3 di 3

Come si risolve una disequazione col valore assoluto

Risolviamo questa disequazione:

| 2(x - 1) | < | x - 16 | + 2x

Studiamo il segno di ogni

espressione che troviamo nel

valore assoluto.

Poniamo queste espressioni > 0:

2(x - 1) > 0

x - 16 > 0

Sono due semplici disequazioni di 1° grado, che risolviamo:

2(x - 1) > 0  ⟶  x > 1

x - 16 > 0  ⟶  x > 16

Visualizziamo queste informazioni

disegnando le linee dei segni.

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Sapendo dove gli argomenti dei valori assoluti sono positivi o nulli e dove invece sono negativi, ricordando la definizione vista in fig. 1.1, andiamo a "sciogliere" la nostra disequazione assegnata.

Per x < 1, entrambi gli argomenti sono negativi, quindi riscriviamo la disequazione assegnata così:

-2(x - 1)  <  -( x - 16 ) + 2x

Per 1 ≤ x < 16, il 1° argomento è positivo o nullo e il 2° argomento è negativo, quindi riscriviamo la disequazione assegnata così:

2(x - 1)  <  - (x - 16) + 2x

Per x ≥ 16, entrambi gli argomenti sono positivi o nulli, quindi riscriviamo la disequazione assegnata così:

2(x - 1) <  x - 16 + 2x    

Dunque dobbiamo risolvere, in pratica, questi tre sistemi, e poi faremo l' unione tra le soluzioni che avremo trovato:

Cominciamo a risolvere il 1° sistema.

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Se hai dubbi, osservazioni, o qualche richiesta di chiarimenti, fammi sapere nei commenti; proverò a risponderti compatibilmente con tutti gli altri miei impegni. 😉

E ora visualizziamo con un disegno queste ultime informazioni che si riferiscono alla x, per vedere se ci sono intervalli in cui sono soddisfatte entrambe le disequazioni di questo 1° sistema.

Ripassa un po' come si risolvono i sistemi di disequazioni (puoi andare direttamente al paragrafo 6, che si trova in fondo all' esercitazione).

Come puoi vedere, le due disequazioni del sistema in esame sono soddisfatte nell' intervallo

-14/3 < x < 1  (estremi esclusi)

Risolviamo il 2° sistema.

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Visualizziamo, come al solito, queste ultime informazioni relative alla x:



Domanda: in quale intervallo è risolto questo 2° sistema?
Risposta: 1 ≤ x < 16

Risolviamo il 3° sistema:

Disegniamo le nostre utilissime linee continue/discontinue per vedere bene queste ultime informazioni relative alla x:



Bene, il nostro 3° sistema è risolto nell' intervallo

x ≥ 16

Non è ancora finita!
Dobbiamo fare l' unione ( ⋃ ) tra le tre "soluzioni":

-14/3 < x < 1  ⋃  1 ≤ x < 16  ⋃ 

⋃  x ≥ 16

Rappresentiamo con un disegno colorato questi tre intervalli, che poi uniremo.
Sarà interessante "vedere" l' intervallo risultante.

Seguimi sui tuoi Social preferiti; ci vediamo anche lì, ti aspetto! 😊

Se ora li uniamo, otteniamo:




Questo è l' intervallo risultante e rappresenta le soluzioni della disequazione del nostro terzo e ultimo esercizio di questa esercitazione.

Come possiamo scrivere queste soluzioni con un linguaggio più formale?
Vediamolo!

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Inoltre, puoi condividere questa lezione, e ti invito a iscriverti, se non lo hai ancora fatto.

Le soluzioni sono:

S = { x ∈ R |  x > -14/3 }

Ciao, a presto!

Puoi guardare questa esercitazione nel video qui sotto: