Ultimo aggiornamento: 21 12 2020
Ecco cosa vedremo in questalezione dedicata alledisequazioni, facendo qualcherichiamo di teoria essenziale
e svolgendo alcuni esercizifondamentali:
Disequazioni
1 Le Proprietà delle Disequazioni
2 Disequazioni di Primo Grado
3 Disequazioni di Secondo Grado
4 Disequazioni di Grado maggiore di 2
5 Disequazioni Fratte
6 Sistemi di Disequazioni
e svolgendo alcuni esercizi
Disequazioni
1 Le Proprietà delle Disequazioni
2 Disequazioni di Primo Grado
3 Disequazioni di Secondo Grado
4 Disequazioni di Grado maggiore di 2
5 Disequazioni Fratte
6 Sistemi di Disequazioni
1. Le Proprietà delle
Disequazioni
Che cos’ è una disequazione?
Esempio 1.1 :
5 - x > x + 1
Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni contenenti lettere
(incognite) che pone il problema di trovare i valori delle
incognite che la verificano.
Questi valori che rendono vera la
disuguaglianza sono le soluzioni
della disequazione.
Nell’ esempio 1.1, i valori dell’
incognita x che verificano
(soddisfano) la disequazione
sono tutti quelli più piccoli
di 2 (x < 2).
Più avanti vedremo come si trovano
le soluzioni delle disequazioni.
Adesso facciamo alcune prove:
sostituiamo al posto della lettera
x (incognita), presente nella
disequazione, i seguenti quattro
disequazione, i seguenti quattro
valori:
x = 1, x = 0, x = 2, x = 3.
Abbiamo detto che tutti i valori
minori di 2 rendono vera la
disuguaglianza, quindi ci aspettiamo
che x = 1 e x = 0 soddisfano la
disequazione e x = 2 e x = 3 NON
la soddisfano.
Sostituiamo e controlliamo con dei
conticini:
x = 1
5 - x > x + 1
5 - 1 > 1 + 1
4 > 2 VERO! (4 è maggiore di 2)
x = 0
5 - x > x + 1
5 - 0 > 0 + 1
5 > 1 VERO! (5 è maggiore di 1)
x = 2
5 - x > x + 1
5 - 2 > 2 + 1
3 > 3 FALSO! (3 NON è maggiore di 3)
x = 3
5 - x > x + 1
5 - 3 > 3 + 1
2 > 4 FALSO! (2 NON è maggiore di 4)
Che cosa sono gli intervalli?
x < 2 è un esempio di intervallo illimitato, che possiamo visualizzare così:
Il pallino vuoto a destra significa che
il numero 2 è escluso, e sono inclusi
invece tutti i valori reali minori di 2.
Esso si può rappresentare anche in
questo modo:
] - infinito, 2 [
Vediamo altri esempi di intervalli il-limitati:
x > -3
Può essere visualizzato così:
Il pallino vuoto a sinistra significa
che il numero -3 è escluso, e sono
inclusi invece tutti i valori reali mag-
giori di -3.
Esso si può rappresentare anche in
questo modo:
] -3, +infinito [
x <= 1
Può essere visualizzato così:
Il pallino pieno a destra significa che
il numero 1 è incluso, e sono inclusi,
ovviamente, anche tutti i valori reali
minori di 1.
Esso si può rappresentare anche in
questo modo:
] - infinito, 1 ]
x >= 5
Può essere visualizzato così:
Il pallino pieno a sinistra significa che
il numero 5 è incluso, e sono inclusi,
ovviamente, anche tutti i valori reali
maggiori di 5.
Esso si può rappresentare anche in
questo modo:
[ 5, +infinito [
Vediamo ora esempi di intervalli limitati:
L’ intervallo [ -1, 5 ] contiene tutti i
valori reali compresi tra -1 e 5,
estremi inclusi (pallini pieni).
L’ intervallo ] -1, 5 [ contiene tutti i
valori reali compresi tra -1 e 5,
estremi esclusi (pallini vuoti).
L’ intervallo ] -1, 5 ] contiene tutti i
valori reali compresi tra -1 e 5, -1
escluso (pallino vuoto) e 5 incluso
(pallino pieno).
L’ intervallo [ -1, 5 [ contiene tutti i
valori reali compresi tra -1 e 5, -1
incluso (pallino pieno) e 5 escluso
(pallino vuoto).
Adesso tocca ai
principi di equivalenza, che sono
importantissimi.
Dire che una disequazione è
equivalente ad un’ altra significa
affermare che hanno le stesse
soluzioni.
soluzioni.
Lo scopo dell’ applicazione dei principi di equivalenza
è quello di manipolare opportunamente la
disequazione di partenza e arrivare
ad una disequazione equivalente più
semplice, avente le stesse soluzioni
della precedente.
Per approfondire la teoria sulle
Per approfondire la teoria sulle
Riprendiamo la disequazione dell’
esempio 1.1 e applichiamo i
principi di equivalenza
per trovare le sue soluzioni.
5-x>x+1
(disequazione di partenza,
assegnata)
Otteniamo una disequazione
equivalente a quella assegnata
se sommiamo al 1º e al 2º
membro una stessa espres-
sione (o numero).
Decidiamo di sommare ad entrambi i
membri il numero - 5 :
5 - 5 - x > x + 1 - 5
0 - x > x - 4
- x > x - 4
Ebbene sì, quest’ ultima che abbiamo
scritto è una disequazione equivalen-
te alla prima.
Per trovare una disequazione equiva-
lente a quest’ ultima, aggiungiamo
ad entrambi i membri il termine
- x :
- x - x > - x + x - 4
-2x > 0 - 4
-2x > - 4
Adesso sfruttiamo un altro principio
di equivalenza.
Otteniamo una disequazione equiva-
lente a quella assegnata se moltipli-
chiamo o dividiamo il 1º e il 2º mem-
bro per uno stesso numero positivo
(o espressione); oppure se moltipli-
chiamo o dividiamo il 1º e il 2º mem-
bro per uno stesso numero negati-
vo (o espressione) e cambiando il
verso della disequazione .
Decidiamo di dividere per -2 il 1º e il
2º membro dell’ ultima disequazione
scritta; siccome -2 è negativo, il se-
gno di maggiore ( > ) diventa minore
( < ), cioè cambia il verso della disu-
guaglianza:
Si poteva procedere in modo diverso.
Vediamo:
5 - x > x + 1
(disequazione di partenza, assegnata)
Aggiungiamo ad entrambi i membri
il termine x :
5 - x + x > x + x + 1
5 + 0 > 2x + 1
5 > 2x + 1
Adesso aggiungiamo al 1º e al 2º
membro di quest’ ultima disequa-
zione il numero -1 :
-1 + 5 > 2x + 1 - 1
4 > 2x + 0
4 > 2x
Ora moltiplichiamo entrambi i
membri per ½ (poichè ½ è
positivo, non cambia il verso
della disuguaglianza):
Come vedi, il maggiore ( > ) è
rimasto maggiore.
Bene,
2 > x
letta da destra verso sinistra ci
dice che x è minore di 2, dunque
le soluzioni sono:
x < 2
Questo risultato ci dice che tutti i
valori reali strettamente minori di
2 soddisfano la disequazione,
rendendo vera la disuguaglianza.
2. Disequazioni di Primo
Grado
Una disequazione di 1º grado intera può assumere la seguente forma:
a•x < b ( a e b rappresentano due numeri reali e x è l’ incognita )
Ho usato il simbolo di minore
( < ) giusto per fissare le idee.
Facciamo degli esempi:
Esempio 2.1
Risolviamo:
3x > 5
Dividiamo entrambi i membri per il
numero 3 (positivo) e otteniamo
Il simbolo di maggiore della disequa-
zione assegnata è rimasto invariato
perché abbiamo diviso i due membri
per un numero positivo.
Esempio 2.2
Risolviamo:
x > 2 + x
Aggiungiamo a entrambi i membri il
termine -x e otteniamo
x - x > 2 + x - x
0•x > 2
Ora, qualunque valore andiamo a
mettere al posto della x, il primo
membro ( 0•x ) sarà sempre zero,
dunque abbiamo
0 > 2 (FALSO!)
Pertanto la disequazione dell’
esempio 2.2 NON ha soluzioni.
Esempio 2.3
Risolviamo:
- 4 + 2x > x - ( 5 - x )
Togliamo le parentesi, facendo atten-
zione ai segni:
- 4 + 2x > x - 5 + x
- 4 + 2x > 2x - 5
Spostiamo opportunamente i
termini da un membro all’ al-
tro, cambiando i segni:
2x - 2x > +4 - 5
0•x > -1
Ora, qualunque valore andiamo a
mettere al posto della x, il primo
membro ( 0•x ) sarà sempre zero,
dunque abbiamo
0 > -1 (VERO!)
Pertanto TUTTI i numeri reali sono
soluzioni della disequazione dell’
esempio 2.3 .
Esempio 2.4
Risolviamo:
1 + ( 3 - x ) <= -x + 4
Togliamo le parentesi:
1 + 3 - x <= -x + 4
Spostiamo opportunamente i termini
da un membro all’ altro, cambiando
i segni:
-x + x <= -1 - 3 + 4
0•x <= 0
Ora, qualunque valore andiamo a
mettere al posto della x, il primo
membro ( 0•x ) sarà sempre zero,
dunque abbiamo
0 <= 0 (VERO!)
Pertanto TUTTI i numeri reali sono
soluzioni della disequazione dell’
esempio 2.4 .
3. Disequazioni di Secondo
Grado
Una disequazione di 2º grado intera può assumere la seguente forma:
a•x2 + b•x + c < 0 ( a, b, c rappresentano tre numeri reali e x è l’ incognita )
Nota:
se vogliamo che sia una disequazione
di 2º grado, il coefficiente a deve esse-
re diverso da zero!
Ho usato il simbolo di minore
( < ) giusto per fissare le idee.
Facciamo degli esempi:
Esempio 3.1
Risolviamo:
-x2 + 4x -3 > 0
Consideriamo l’ equazione di 2º
grado associata alla disequazio-
ne assegnata:
-x2 + 4x -3 = 0
Calcoliamo il DELTA, sfruttando la
formula standard, anche se il coef-
ficiente b è pari:
Non tutti conoscono l’ altra formula
che si utilizza quando il coefficiente
b è pari.
Poichè il DELTA è positivo, avremo
due soluzioni reali e distinte dell’
equazione associata.
Calcoliamo le due soluzioni, x1 e x2 :
A cosa serve conoscere le soluzioni
dell’ equazione associata?
x=1 e x=3 sono le ascisse dei punti di interse-
zione tra la parabola
y = -x2 + 4x -3
e l’ asse x.
Infatti in corrispondenza di x=1 e x=3 le ordinate dei punti della parabola
sono uguali a zero ( y = 0 ).
La disequazione
-x2 + 4x -3 > 0
dell’ esempio 3.1 che stiamo studian-
do può essere risolta graficamente e
dunque
disegniamo la parabola associata:
Fig. 3.1
Risolvere la disequazione
-x2 + 4x -3 > 0
significa chiedersi per quali valori del-
la x le ordinate dei punti della
parabola sono positive:
y = -x2 + 4x -3
y > 0
Osservando la figura 3.1, vediamo
che i punti della parabola che han-
no l’ ordinata positiva ( y > 0 )
sono quelli in corrispondenza del-
l’ intervallo
] 1, 3 [
La nostra disequazione, risolta grafi-
camente, ha le seguenti soluzioni:
1 < x < 3 .
Esempio 3.2
Risolviamo:
x2 - 2x + 1 > 0
Consideriamo l’ equazione di 2º gra-
do associata alla disequazione as-
segnata:
x2 - 2x + 1 = 0
Calcoliamo il DELTA, sfruttando la
formula standard, anche se il coef-
ficiente b è pari:
Come ho detto prima, non tutti
conoscono l’ altra formula che si
utilizza quando il coefficiente b è
pari.
Poichè il DELTA è nullo (uguale a
zero), avremo due soluzioni reali e
coincidenti dell’ equazione
associata.
Calcoliamo x1 = x2 :
Anche la disequazione
x2 - 2x + 1 > 0
dell’ esempio 3.2 che stiamo studian-
do può essere risolta graficamente
e dunque disegniamo la parabola
associata:
Fig. 3.2
Risolvere la disequazione
x2 - 2x + 1 > 0
significa chiedersi per quali valori
della x le ordinate dei punti della
parabola sono positive:
y = x2 - 2x + 1
y > 0
Osservando la figura 3.2 , vediamo
che i punti della parabola che han-
no l’ ordinata positiva ( y > 0 )
sono quelli in corrispondenza di
tutto l’ asse reale x, escluso
x=1, perché in corrispondenza
di x=1 l’ ordinata del punto della
parabola vale zero ( y=0 ).
La nostra disequazione, risolta
graficamente, ha le seguenti
soluzioni (vediamo alcuni modi di
scriverle) :
S = R - {1}
( tutti i valori reali, escluso x=1 )
La lettera S indica l’ insieme del-
le soluzioni.
Oppure possiamo scrivere anche:
] -infinito, 1 [ U ] 1, +infinito [
Quest’ ultima scrittura vuol dire che
facciamo l’ unione (U) tra l’ interval-
lo che va da -infinito a 1 e l’ interval-
lo che va da 1 a +infinito, ovviamen-
te 1 escluso.
Esempio 3.3
Risolviamo:
-x2 + 2x - 2 > 0
Consideriamo l’ equazione di 2º gra-
do associata alla disequazione asse-
gnata:
-x2 + 2x - 2 = 0
Calcoliamo il DELTA, sfruttando la
formula standard, anche se il coef-
ficiente b è pari:
Poichè il DELTA è negativo ( < 0 ),
NON ci sono soluzioni reali dell’
equazione associata.
Questo significa, dal punto di vista
grafico, che la parabola associata
non interseca mai l’ asse
orizzontale delle ascisse.
Disegniamo la parabola associata:
Fig. 3.3
Risolvere la disequazione
-x2 + 2x - 2 > 0
significa chiedersi per quali valori del-
la x le ordinate dei punti della para-
bola sono positive:
y = -x2 + 2x - 2
y > 0
Osservando la figura 3.3 , vediamo
che NON c’ è un punto della para-
bola che abbia ordinata positiva
( y > 0 ).
Ogni punto della parabola ha ordina-
ta negativa (la curva sta tutta al di
sotto dell’ asse x).
Dunque la disequazione dell’ esem-
pio 3.3 NON ha soluzioni; possiamo
dire che l’ insieme delle soluzioni è
l’ insieme vuoto.
Possiamo scrivere così:
Qui sotto trovi un video in cui ti mostro come si può risolvere una disequazione del tipo
(ax + b)⋅(cx + d) < 0
4. Disequazioni di Grado
maggiore di 2
Se abbiamo una disequazione del ti-
po
A(x) > 0
dove A(x) è un polinomio di grado
superiore a 2, possiamo provare a
scomporlo in fattori e studiare il
segno del prodotto dei fattori.
Facciamo un esempio:
Esempio 4.1
Studiamo la disequazione
x3- 2x2- 5x + 6 > 0
Scomponiamo il polinomio di grado
mio video che ti mostra come si ap-
plica “Ruffini”) e riscriviamo la nostra
disequazione di partenza in questo
modo:
(x - 1)(x + 2)(x - 3) > 0
Se stai cercando una buona
Se stai cercando una buona
calcolatrice scientifica, puoi pen-
sare di prendere questa.
Adesso studiamo il segno di ogni
singolo fattore e visualizziamo le
informazioni sui segni:
Fig. 4.1
Il 1º fattore, x - 1, è positivo per x > 1,
vale zero in x = 1, ed è negativo per
x < 1.
Il 2º fattore, x + 2, è positivo per x>-2,
vale zero in x = -2, ed è negativo per
x < -2.
Il 3º fattore, x - 3, è positivo per x>3,
vale zero in x = 3, ed è negativo per
x < 3.
Ora pensiamo al
segno del prodotto dei fattori,
perché dobbiamo stabilire per quali
valori della x il prodotto
(x - 1)(x + 2)(x - 3)
è positivo ( > 0 ).
Visualizziamo le informazioni sui se-
gni:
Fig. 4.2
Come si può vedere nella fig. 4.2, il
prodotto dei tre fattori è
positivo ( > 0 ) per
-2 < x < 1 v x > 3
Le soluzioni della disequazione dell’
esempio 4.1 possono essere scritte
anche così:
] -2, 1 [ U ] 3, +infinito [
Osserviamo anche che in x = -2,
x = 1 e x = 3 il prodotto dei tre fat-
tori vale zero, mentre è negativo
negli intervalli
] -infinito, -2 [ e ] 1, 3 [
5. Disequazioni Fratte
Quando la disequazione è fratta, del
tipo A(x)/B(x) > 0, con B(x) diverso
da zero, studiamo il segno del
numeratore ( N ), del denominato-
re ( D ) e poi il segno del rapporto
N/D.
Facciamo un esempio:
Esempio 5.1
Studiamo la disequazione
Adesso studiamo i segni di N e di D
e visualizziamo le informazioni che
otteniamo:
Fig. 5.1
Il Numeratore, x - 3,
è positivo per x > 3, vale zero in x=3,
ed è negativo per x < 3.
Il Denominatore, x + 4,
è positivo per x > -4, vale zero in x=-4,
ed è negativo per x < -4.
Ora pensiamo al
segno del rapporto N/D, perché
dobbiamo stabilire per quali valori
della x il rapporto (x - 3) / (x +4) è
negativo ( < 0 ), come si legge
dalla disequazione dell’ esempio
5.1.
Visualizziamo le informazioni sui
segni:
Fig. 5.2
Come si può vedere nella fig. 5.2, il
rapporto N/D è negativo ( < 0 ) per
-4 < x < 3
Le soluzioni della disequazione dell’
esempio 5.1 possono essere scritte
anche così:
] -4, 3 [
Osserviamo anche che in x = -4 il
rapporto N/D non esiste, perchè il
denominatore, x+4, si azzera per
x = -4 (e noi sappiamo che non si
può dividere per zero, vero?); men-
tre il rapporto è nullo per x = 3, per-
chè in x = 3 si annulla solo il nume-
ratore, x - 3.
Il rapporto N/D è positivo negli inter-
valli
] -infinito, -4 [ e ] 3, +infinito [
6. Sistemi di Disequazioni
In un sistema di n disequazioni,
nella stessa incognita x, cerchiamo
gli intervalli della x in cui sono sod-
disfatte TUTTE le n disequazioni.
Facciamo qualche esempio:
Esempio 6.1
Risolviamo il sistema
Questo particolare sistema dell’
esempio 6.1 è un insieme di 3
disequazioni, nella stessa inco-
gnita x. Si risolve trovando gli
intervalli della x in cui sono sod-
disfatte TUTTE e 3 le disequazioni.
Vediamo, come prima cosa, dove
sono soddisfatte le singole dise-
quazioni:
Fig. 6.1
La 1ª disequazione è soddisfatta per
x <= 1 (linea continua a sinistra di 1,
1 incluso);
La 2ª disequazione è soddisfatta per
x > -5 (linea continua a destra di -5,
-5 escluso);
La 3ª disequazione è soddisfatta per
x < 2 (linea continua a sinistra di 2,
2 escluso).
La domanda è:
In quali intervalli sono soddisfatte
tutte e 3
le disequazioni del sistema?
Vediamolo nella figura 6.2 :
Fig. 6.2
Ecco, la fig. 6.2 ci dice:
nell’ intervallo ] -infinito, -5 [
la 2ª disequazione NON è soddisfat-
ta;
nell’ intervallo ] 1, 2 [
la 1ª disequazione NON è soddisfat-
ta;
nell’ intervallo ] 2, +infinito [
SOLO la 2ª disequazione
è soddisfatta;
nell’ intervallo ] -5, 1 ] ,
-5 escluso e 1 incluso, sono soddi-
sfatte TUTTE e tre le disequazioni;
-5 è escluso perchè per x = -5 NON è
soddisfatta la 2ª disequazione.
Osserviamo anche che per x = 2 è
soddisfatta SOLO la 2ª disequazione.
Le soluzioni del sistema sono:
-5 < x <= 1
Esempio 6.2
Risolviamo il sistema
L’ unica differenza tra questo
sistema e quello dell’ esempio
precedente sta nel fatto che
nella 3ª disequazione, questa
volta, compare il maggiore (>).
Vediamo, adesso, dove sono soddi-
sfatte le singole disequazioni:
Fig. 6.3
Questa volta, la linea continua, relati-
va alla 3ª disequazione, si trova a
destra di 2.
Chiediamoci se esiste qualche inter-
vallo in cui sono soddisfatte
TUTTE e 3 le disequazioni.
La risposta è che NON esiste
un intervallo in cui sono
soddisfatte TUTTE e 3 le disequa-
zioni!
Ad esempio, questa volta, nell’ inter-
vallo ] -5, 1 ] la 3ª disequazione
NON è soddisfatta.
Il sistema dell’ esempio 6.2 NON ha soluzioni.
Bene, guarda anche
Bene, guarda anche
le esercitazioni relative alle
Puoi guardare i primi due punti di questotutorial nel video qui sotto:
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