Principio di Induzione: come si applica nelle dimostrazioni

Come si applica il Principio di Induzione nelle dimostrazioni?

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In questo breve tutorial, ti propongo un esercizio molto interessante!

Eccolo: 

Se prendiamo a caso tre numeri interi consecutivi e li moltiplichiamo tra loro, il prodotto che otteniamo è un multiplo di 6. Dimostralo sfruttando il Principio di Induzione.

Regola di Ruffini: Esercizi Svolti

Come si applica la Regola di Ruffini nella divisione tra polinomi?

Vedremo la divisione in cui il polinomio divisore è del tipo x+a (a∊R) e quella in cui il polinomio divisore ha la forma b⋅x+c (b, c ∊ R, b≠1)

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In questo tutorial, ti propongo 2 esercizi, che svolgo e commento.

Retta nel Piano Cartesiano: Esercizi Svolti

Fig. 0

Noti due punti del piano cartesiano, come si trova l' equazione della retta che passa per essi?

Come si trova, o come si riconosce, il coefficiente angolare di una retta?

Come si trova, o come si individua, l' ordinata all' origine di una retta?

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In questo breve tutorial, ti propongo un paio di esercizi.

Il primo esercizio che svolgerò in questo tutorial ci fornisce due punti, P(2, 4) e Q(-1, 2), e ci chiede di trovare:

a) l' equazione della retta r passante per P e Q;

b) il coefficiente angolare della retta r;

c) l' ordinata all' origine della retta r;

d) l' equazione della retta parallela a r passante per O, l' origine degli assi cartesiani.

Svolgimento

a)
Poiché i punti assegnati ce lo permettono, utilizziamo la formula

Fig. 1

per ricavare l' equazione della retta r.

P(2, 4) sia il nostro primo punto e Q(-1, 2) il secondo punto.
Dunque x₁=2, y₁=4, x₂=-1, y₂=2

Facciamo le sostituzioni, manipoliamo ed arriviamo fino all' equazione della retta in forma esplicita:

Fig. 2

L' ultima che abbiamo scritto è l' equazione della retta in forma esplicita.

b)
Il coefficiente angolare è dato dal coefficiente della x nell' equazione scritta in forma esplicita, cioè 2/3

c) 
L' ordinata all' origine della retta r è data dal termine noto (quello senza lettera) nell' equazione scritta in forma esplicita, cioè 8/3

d) 
L' equazione della retta parallela a r passante per l' origine degli assi cartesiani ha la forma

y=m⋅x ,

dove m è uguale al coefficiente angolare della retta r (le due rette devono essere parallele).

Dunque

y=(2/3)x

☺️

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Il secondo esercizio che svolgerò in questo tutorial ci fornisce l' equazione in forma implicita della retta r passante per i punti P e Q,

3x+y-1=0, 

e ci chiede di trovare:

a) l' ordinata di P(2, ...) e l' ascissa di Q(... , 4) ;

b) il coefficiente angolare della retta r;

c) l' ordinata all' origine della retta r;

d) l' equazione della retta parallela a r passante per O, l' origine degli assi cartesiani.

Svolgimento

Scrivendo l' equazione nella forma esplicita, troviamo agevolmente gli elementi richiesti dai punti b), c) e d).

Ecco dunque la forma esplicita dell' equazione:

y=-3x+1

Ma prima rispondiamo al primo quesito di questo secondo esercizio.

a)
Sappiamo che P(2, yₚ) e Q(x, 4) appartengono alla retta r, quindi le loro coordinate soddisfano l' equazione della retta:

yₚ=-3⋅2+1 ⇾ yₚ=-5 ⇾ P(2, -5)

ed anche

4=-3x+1 ⇾ x = -1 ⇾ Q(-1, 4)

b)
Il coefficiente angolare è dato dal coefficiente della x nell' equazione scritta in forma esplicita, cioè -3

c) 

L' ordinata all' origine della retta r è data dal termine noto (quello senza lettera) nell' equazione scritta in forma esplicita, cioè 1

d) 

L' equazione della retta parallela a r passante per l' origine degli assi cartesiani ha la forma

y=m⋅x ,

dove m è uguale al coefficiente angolare della retta r (le due rette devono essere parallele).

Dunque

y=-3x    ☺️

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troverai un' ampia raccolta di esercizi svolti e spiegati sugli argomenti più importanti che si studiano durante i cinque anni di scuola superiore.

Alla prossima lezione. Ciao, ti aspetto!

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Guarda l' esercitazione in questo video:

Espressioni con Frazioni Algebriche: Come si Semplificano

Come si semplificano le espressioni che contengono frazioni algebriche?

Ciao! Sono Giuseppe.
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In questo breve tutorial, ci eserciteremo semplificando due espressioni:

Fig. 1

Iniziamo col 1° esercizio:

Fig. 2

Facciamo gradualmente le scomposizioni dei polinomi in gioco:

Fig. 3

Come vedi, nella fig. 3 ho effettuato una prima semplificazione, cancellando il 3 al numeratore e al denominatore della frazione più a destra.

Volendo, si può semplificare anche il 2 al numeratore e il 6 al denominatore della frazione più a sinistra della fig. 3.

😊 Niente paura! Più avanti, faremo altre semplificazioni.

Fig. 4

Nella fig. 4, ho scomposto la differenza di quadrati presente sia al numeratore della frazione più a sinistra sia al denominatore della frazione più a destra (x² -9).

Sappiamo che x² -9 = (x+3)(x-3)

Fig. 5

Nella fig. 5, osserviamo che al denominatore della seconda frazione a partire da sinistra ho "raccolto" il segno - , in modo da avere il fattore (x-3) come negli altri denominatori della terza e quarta frazione.

Fig. 6

Nella fig. 6, ho semplicemente fatto salire il segno - al livello della linea di frazione.

Fig. 7

Nella fig. 7, calcolo il minimo comune multiplo (m.c.m) tra i denominatori all' interno delle parentesi quadre.

Permettimi di riscrivere l' espressione della fig. 6:

Fig. 8

A questo punto, imponiamo che i denominatori siano diversi da zero (Condizioni di Esistenza, C. E.):

6(x²+3) ≠ 0 👉 per ogni valore di x

2x(x-3) ≠ 0 👉 per x ≠ 0 ed anche x ≠ 3

(x-3)² ≠ 0 👉 per x ≠ 3

(x-3)(x+3) ≠ 0 👉 per x ≠ 3 ed anche x ≠ -3

Dunque le C.E. sono:

x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ -3

Adesso calcoliamo il m.c.m. tra i denominatori presenti tra le quadre dell' espressione in fig. 8, facciamo i conti e le semplificazioni:

Fig. 9

Come vedi, la fig. 9 ci mostra due frazioni, che si moltiplicano tra loro (in realtà adesso le parentesi quadre sono superflue), e la possibilità di operare delle semplificazioni tra il numeratore della prima frazione e il denominatore della seconda frazione:

il 2 del numeratore della prima frazione se ne va col 2 del denominatore della seconda frazione;

la x del numeratore della prima frazione se ne va con la x del denominatore della seconda frazione;

x-3 del numeratore della prima frazione si semplifica con (x-3)² del denominatore della seconda frazione;

per finire, x+3 del numeratore della prima frazione se ne va con x+3 del denominatore della seconda frazione.

Continuando a puntare l' attenzione sull' espressione della fig. 9, ci accorgiamo che è possibile operare un raccoglimento a fattor comune tra i termini evidenziati in arancione.

L' espressione della fig. 9, dopo le semplificazioni e il raccoglimento a fattor comune, diventa quella che vedi qui sotto (fig. 10):

Fig. 10

Guardando l' espressione della fig. 10, ci accorgiamo che possiamo togliere le parentesi tonde che si trovano all' interno delle quadre, cambiando opportunamente i segni:

Fig. 11

Adesso ti lascio gli ultimi passaggi, che sono semplici da seguire:

Fig. 12

Fig. 13

Fig. 14

Fig. 15

Fig. 16

Fig. 17

Fig. 18

Ecco la nostra espressione di partenza semplificata:

👇

1/[2(x-3)]

Se qualcosa non ti è chiaro, prova a scrivere una domanda nella sezione dedicata ai commenti.

😊 Non si accettano commenti anonimi! 😊

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Passiamo alla 2^ espressione:

Fig. 19

Il denominatore della prima frazione presenta una differenza di quadrati.

Pure il numeratore dell' ultima frazione presenta una differenza che può essere vista come differenza di quadrati:

Fig. 20

Imponiamo, come nell' esercizio precedente, che i denominatori siano diversi da zero (Condizioni di Esistenza, C. E.):

(x-y)(x+y) ≠ 0 👉  x ≠ y, x ≠ -y

x² + y² ≠ 0 👉  x ≠ 0 oppure y ≠ 0 

2(x³ + y³) ≠ 0, cioè 

2(x+y)(x²-xy+y²) ≠ 0 👉 x≠-y , x≠0 oppure y≠0

Dunque le C.E. sono:

x ≠ y, x ≠ -y, x≠0 oppure y≠0

Nella fig. 21 qui sotto opero una prima semplificazione, poi scompongo la differenza di quadrati che trovo al numeratore della terza frazione e sostituisco la somma di due cubi che si trova al denominatore dell' ultima frazione con la sua scomposizione, già fatta quando cercavamo le C.E.:

Fig. 21

Semplifico ancora:

Fig. 22

Calcolo il minimo comune multiplo tra i due denominatori presenti tra le parentesi tonde grandi e faccio i conti:

Fig. 23

Semplifico ancora:

Fig. 24

Sviluppo il quadrato di binomio:

Fig. 25

Ti lascio gli ultimi passaggi, che sono semplici da capire:

Fig. 26

Fig. 27

Wow! La nostra seconda espressione assegnata semplificata:

1  😃

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