Equazioni Goniometriche_Esercizi Svolti

Risolviamo le seguenti due equazioni goniometriche:

Diciamo subito che x deve essere diversa da...

ed anche

Dobbiamo escludere questi valori perchè per questi valori le tangenti che compaiono in questa equazione non hanno senso!

Sfruttiamo la formula di addizione della tangente...

Riscriviamo dunque la nostra equazione:

Moltiplichiamo 1º e 2º membro per ...

Semplifichiamo, sviluppiamo, manipoliamo...

A questo punto, sfruttiamo una variabile ausiliaria...

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Possiamo adesso riscrivere la nostra equazione goniometrica, in cui compare la tangente di x, in una equazione nell' incognita t :

Vediamo ora per quali valori di x la tangente vale zero oppure -1:

Quelle che abbiamo appena scritto sono le soluzioni cercate.

Beh, ci possono essere modi diversi di scrivere le stesse soluzioni, l' importante è che questi modi diversi di scrivere le soluzioni vi conducano alla stessa rappresentazione grafica fatta di punti sulla circonferenza goniometrica.

I punti rappresentano gli angoli e i loro omologhi.

Passiamo alla seconda equazione:

Visto che il seno di 3x, in valore assoluto, deve essere uguale a 1/2, esso può assumere il valore di 1/2 oppure di -1/2. Perchè?

Ti ricordo che il simbolino "v" significa "oppure". 

Vuol dire che dobbiamo fare l' unione tra le soluzioni di sin(3x) = 1/2 e sin(3x) = -1/2.

Vediamo adesso quali sono gli angoli che hanno il seno uguale a 1/2 e quali invece hanno il seno uguale a -1/2.

Dalla figura, si vede che il seno di 3x è uguale a 1/2 se 3x = ... ; vediamo anche che il seno di 3x è uguale -1/2 se 3x = ...

Dividiamo per 3 il 1º e il 2º membro di ciascuna delle precedenti quattro equazioncine di primo grado, ottenendo:

Queste sono le soluzioni della nostra 2^ equazione goniometrica assegnata:

Se vogliamo trovare una scrittura più compatta e, se vogliamo, più elegante, procediamo come segue.

Riprendiamo i disegni di prima...

Mettiamo questi punti su una sola (facciamo l' unione) circonferenza goniometrica:

Dalla figura, si vede che il seno di 3x è uguale a 1/2 se 3x = ... ; vediamo anche che il seno di 3x è uguale -1/2 se 3x = ...

Prima, però, permettetemi di scrivere con colori diversi...

Compattando la scrittura, si ha...

Divido i due membri per 3:

In questo modo, la scrittura delle soluzioni appare più leggera e snella.