ESERCIZIO SVOLTO SULLE EQUAZIONI DI II GRADO NELL' INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI

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L' equazione che ti propongo ha coefficienti complessi ed è di II grado.
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ESERCIZIO SVOLTO SULLA FORMA ESPONENZIALE DEI NUMERI COMPLESSI

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Un esercizio di base che mostra come convertire un numero complesso nella sua forma esponenziale può essere scaricato da QUI.
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ESERCIZIO SVOLTO SUI NUMERI COMPLESSI (OPERAZIONI)

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ESERCIZIO SVOLTO SUI NUMERI COMPLESSI: RADICE N-ESIMA DELL' UNITÀ

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Un interessante esercizio può essere scaricato da QUI.
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ESERCIZIO SVOLTO SULLA RAPPRESENTAZIONE GONIOMETRICA DI UN NUMERO COMPLESSO

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Un esercizio di base che mostra come si scrive un numero complesso nella sua forma trigonometrica può essere scaricato da QUI.
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Numeri Complessi: Potenze dell' Unità Immaginaria

Ultimo Aggiornamento: 13/04/2020

Come si calcolano le potenze dell' unità immaginaria?

Quanto fa iⁿ, dove i è l' unità immaginaria ed n è un numero naturale?

Ciao! Sono Giuseppe.
In questo blog parlo di matematica, e in particolare svolgo e commento esercizi per le scuole superiori e l' università.

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In questo tutorial, ti propongo 2 espressioni che contengono potenze dell' unità immaginaria.

Esercizio 1

Calcola le seguenti espressioni:

Fig.1

In questo tutorial, ti voglio mostrare una tecnica di calcolo alternativa a quella proposta da alcuni manuali di matematica.

Anziché dividere l' esponente n per 4 (come probabilmente hai visto in classe o sul manuale di matematica), dividiamo per 2.

Vediamo perché:

Fig. 2

h è il quoziente della divisione dell' esponente n per 2 ed r è il resto, che può valere 0 (se n è pari) oppure 1 (se n è dispari).

Seguendo nella fig. 2 l' applicazione delle proprietà delle potenze, si arriva in fondo e si scopre che 

iⁿ = (-1)ᵸ ⋅ i⁰ =
   = (-1)ᵸ ⋅ 1 =
   = (-1)ᵸ      (se n è pari)

oppure

iⁿ = (-1)ᵸ ⋅ i¹ =
   = (-1)ᵸ ⋅ i      (se n è dispari)

Quindi 

se n è pari, 

iⁿ = -1 (se il quoziente h della divisione di n per 2 è dispari)

oppure 

iⁿ = 1 (se il quoziente h della divisione di n per 2 è pari)
-------------------------------------------

se n è dispari, 

iⁿ = -i (se il quoziente h della divisione di n per 2 è dispari)

oppure 

iⁿ = i (se il quoziente h della divisione di n per 2 è pari)

Potenze dell' unità immaginaria

Dopo aver fatto queste considerazioni sulla potenza iⁿ di carattere generale, affrontiamo le espressioni assegnate.

1)
Calcoliamo le singole potenze in gioco:

i³¹=-i

perché 31 è dispari, 

i³¹ = -i (il quoziente 15 della divisione di 31 per 2 è dispari)
-------------------------------------------

i³⁹=-i

perché 39 è dispari, 

i³⁹ = -i (il quoziente 19 della divisione di 39 per 2 è dispari)
-------------------------------------------

i⁴⁷=-i

perché 47 è dispari, 

i⁴⁷ = -i (il quoziente 23 della divisione di 47 per 2 è dispari)
-------------------------------------------

i²¹=i

perché 21 è dispari, 

i²¹ = i (il quoziente 10 della divisione di 21 per 2 è pari)
-------------------------------------------

i⁴¹=i

perché 41 è dispari, 

i⁴¹ = i (il quoziente 20 della divisione di 41 per 2 è pari)
-------------------------------------------

Dopo aver calcolato le potenze presenti nella prima espressione dell' esercizio n. 1, facciamo le sostituzioni e calcoliamo:

[-i-5(-i)+4(-i)]:(2i+3i)=

= [-i+5i-4i]:5i =

= 0:5i = 0   ☺️

Se questo approccio ti sembra un po' pesante, allora seguimi in questi semplici e pratici conticini:

Fig. 3

Guarda come scrivo gli esponenti delle potenze, sfruttando la divisione per 2, applicando, poi, le proprietà delle potenze:

Fig. 4

Potenze al numeratore

Anche qui sotto faccio la stessa cosa:

Fig. 5

Potenze al denominatore

Una volta calcolate le potenze di i, calcolo l' espressione assegnata:

Fig. 6

Passiamo adesso alla seconda espressione, e la calcoliamo facendo i conticini semplici e pratici:

Fig. 7

Sfrutto la divisione dell' esponente per 2, applico le proprietà delle potenze e il gioco è fatto! ☺️

Fig. 8

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troverai un' ampia raccolta di esercizi svolti e spiegati sugli argomenti più importanti che si studiano durante i cinque anni di scuola superiore. 

Alla prossima lezione. Ciao, ti aspetto!

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Numeri Complessi: Esercizi Svolti

Ultimo Aggiornamento: 10/04/2020

Che cos' è il modulo di un numero complesso?

Che cosa si intende per coniugato di un numero complesso?

A queste e ad altre domande risponderemo con lo svolgimento di alcuni esercizi.


Ciao! Sono Giuseppe.
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In questo tutorial, ti propongo 3 esercizi.

Esercizio 1

Trovare i valori reali di x e y affinché i numeri complessi 

z=3x+1+(x-y+2)i 

e 

w=x-y+2xi

siano uguali.

Svolgo

Numeri complessi uguali (condizione):

Due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno parti reali uguali e coefficienti delle parti immaginarie anch' essi uguali.

z=a+bi, w=c+di
z=w ⇔ a=c ed anche b=d


Dunque dobbiamo (im)porre

3x+1=x-y

ed anche

x-y+2=2x

Ecco, queste due ultime equazioni che abbiamo scritto devono essere soddisfatte entrambe, quindi insieme costituiscono un sistema di due equazioni e due incognite, x ed y.

Risolviamolo col semplice metodo di sostituzione:

I valori reali di x e y per i quali i numeri complessi assegnati, z e w, sono uguali sono 

x=-3 e y=5,

infatti, sostituendo, si ha:

z=3x+1+(x-y+2)i

z=3(-3)+1+(-3-5+2)i

z=-8+(-6)i

e

w=x-y+2xi

w=-3-5+2(-3)i

w=-8+(-6)i

Entrambi i numeri complessi, z e w, sono rappresentati dallo stesso punto sul piano di Gauss (o piano complesso):

z=(-8, -6) e w=(-8, -6)

Esercizio 2

Trovare il valore reale di h per il quale il modulo del numero complesso

z=1+2h+(h-1)i 

sia uguale a 3

Svolgo

Modulo di un numero complesso: come si calcola

Sappiamo che il modulo di un numero complesso

z=a+bi, 

che si indica con la scrittura |a+bi|,

è dato dalla radice quadrata della somma tra il quadrato della parte reale e il quadrato del coefficiente della parte immaginaria:

|a+bi|=√(a²+b²)

Applichiamo dunque questa formula del modulo di un numero complesso qualsiasi al nostro numero complesso particolare:

|z|=|1+2h+(h-1)i|=

     

   =√(a²+b²)=

   =√[(1+2h)²+(h-1)²]

Poiché |z|=3,

scriviamo

√[(1+2h)²+(h-1)²]=3

Questa che cos' è?

E' un' equazione nell' incognita h, che risolviamo.

Eleviamo al quadrato 1° e 2° membro:

(1+2h)²+(h-1)²=9

Sviluppiamo i quadrati dei binomi:

1+4h²+4h+h²+1-2h=9

Scriviamo questa equazione di secondo grado nella sua forma canonica:

5h²+2h-7=0

Calcoliamo il discriminante (Δ/4):

Δ/4 = 1-5(-7) = 36

Formula risolutiva:

h₁₂=(-1±6)/5 ⇾

h₁=-7/5 

oppure

h₂=1

Infatti, sostituendo i valori di h trovati, otteniamo due numeri complessi che hanno lo stesso modulo, 3.

Essi sono:

per h₁=-7/5

z₁=1+2(-7/5)+[(-7/5)-1]i=

    = -9/5-(12/5)i

per h₂=1

z₂=1+2⋅1+(1-1)i =

   = 3+0⋅i= 3

Esercizio 3

Siano z e w due numeri complessi:

z=x+2-yi

w=x-y+2xi

Trova i valori reali di x e y affinché z e w siano:

1) opposti;

2) coniugati.

Svolgo

Numeri complessi opposti

Numeri complessi coniugati

1) z e w sono opposti se z=-w, dunque

x+2-yi=-[x-y+2xi]

x+2-yi=-x+y-2xi

Adesso imponiamo l' uguaglianza tra le due parti reali l' uguaglianza tra i due coefficienti delle parti immaginarie:

x+2=-x+y

ed anche

-y=-2x

Queste due ultime equazioni insieme costituiscono un sistema di due equazioni e due incognite, x ed y, che risolviamo:

0⋅x=2 è impossibile!

Non c'è alcun valore reale di x che moltiplicato per zero dia come risultato 2.

Pertanto non ci sono valori reali per x ed y che rendano i due numeri complessi l' uno l' opposto dell' altro.

Passiamo al punto 2)

z=x+2-yi

w=x-y+2xi

Affinché z e w siano coniugati dobbiamo imporre che 

x+2=x-y

(cioè parti reali uguali)

ed anche

-y = - 2x

(cioè coefficiente della parte immaginaria dell' uno uguale all' opposto del coefficiente della parte immaginaria dell' altro)

Di nuovo, queste due ultime equazioni insieme costituiscono un sistema di due equazioni e due incognite, x ed y, che risolviamo:

Infatti, per questi due valori di x ed y, si ha che

z=x+2-yi

z=-1+2-(-2)i

z=1+2i

e

w=x-y+2xi

w=-1-(-2)+2(-1)i

w=1-2i

z e w sono coniugati  ☺️

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