Il Grafico delle Funzioni e le Trasformazioni Geometriche (1^ Parte)

In questo post, vedremo come si disegnano(senza utilizzare il computer❗️🤓🙄😀) delle funzioni, leggermente complesse, partendo dai grafici di funzioni più semplici e sfruttando le trasformazioni geometriche.

Il perchè 🔍 delle trasformazioni che sto per mostrarti sarà trattato in un altro mio elaborato.

Poichè lo studio approfondito della teoria è fondamentale per affrontare bene gli esercizi e i problemi di Matematica, ti consiglio dei libri validi, per studiare i concetti teorici basilari legati alle trasformazioni geometriche, che puoi ottenere grazie a dei link che ti ho fornito in fondo a questo post.

Disegnare il grafico di questa funzione:

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Ricorriamo al seguente schema, in cui k rappresenta un numero reale (k ∈ ℝ):

Schema 1

La nostra f(x) è ln(x).

f(x)=ln(x).

Dobbiamo disegnare f(x+k)=ln[x+(-2)].

k= -2 

Dunque, poichè k= -2 < 0 , il grafico che dovremo disegnare sarà quello di ln(x) traslato lungo la direzione dell' asse x con spostamento |-2 |= 2 verso destra.

Ecco il disegno:

Fig. 1

Ti faccio notare che oltre alla traslazione del diagramma di ln(x), assistiamo anche alla traslazione dell' asintoto verticale:

l' asse di equazione x=0 ( asse y, asintoto verticale di ln(x) ) viene traslato verso destra lungo la direzione dell' asse delle ascisse con uno spostamento pari a 2, diventando così l' asintoto verticale(x=2) della funzione ln(x-2).

Adesso ti fornisco altri schemi grazie ai quali potrai disegnare i grafici di alcune funzioni assegnate, leggermente complesse, dopo avere applicato certe trasformazioni geometriche a funzioni più semplici di equazione y=f(x).

Schema 2

Facciamo subito un esempio per applicare la traslazione parallela all' asse y dello schema 2.

Vogliamo disegnare la seguente funzione:

y = x² + x - 2 ,

che possiamo vedere, giusto per "giocare" con le trasformazioni geometriche, come 

y = ( x² + x ) - 2 ,

in cui f(x) = ( x² + x ) e k = -2 .

Cosa dice lo schema 2 ?

Dobbiamo traslare il grafico di f(x) lungo l' asse y, spostandolo di |-2|=2 verso il basso.

Il grafico di f(x) è la seguente parabola, y = x² + x :

Fig. 2

che traslata verso il basso, di 2, diventa y = ( x² + x ) - 2 :

Fig. 3

Ecco lo schema 3:

Schema 3

Facciamo subito un esempio per applicare la trasformazione geometrica dello schema 3.

Vogliamo disegnare la seguente funzione:

y = (-x)² + (-x) - 2 

Essa proviene dalla funzione y = f(x) = x² + x - 2, se al posto di x mettiamo -x.

Cosa dice lo schema 3 ?

Che il grafico di y = f(-x) =(-x)² + (-x) - 2 è il simmetrico del grafico di y = f(x) = x² + x - 2 rispetto all' asse y.

Di quest' ultima funzione conosciamo già il diagramma (fig. 4).

Fig. 4

Disegnando il simmetrico del grafico di Fig. 4 rispetto all' asse y, si ottiene

Fig. 5

Il grafico della funzione  y = f(-x) =(-x)² + (-x) - 2  è quello che passa per i punti M', Q' e P'.

In pratica, non facciamo altro che disegnare i simmetrici rispetto all' asse y dei punti della f(x) = x² + x - 2, come, ad esempio, P, Q ed M.

Nella fig. 5 puoi vedere che P si trasforma in P', Q si trasforma in Q'(ma coincidono!), M si trasforma in M', e così via.

Adesso lavoriamo sulla trasformazione geometrica del prossimo schema, il 4°.

Schema 4

Vogliamo disegnare y = - ( x² + x - 2 ) .

f(x) = x² + x - 2 è una nostra vecchia conoscenza 😄, e dobbiamo disegnare y = - f(x).

Cosa dice lo schema 4 ?

Dobbiamo rappresentare il simmetrico del grafico di y = f(x) = x² + x - 2 rispetto all' asse x per ottenere il grafico della funzione y = - ( x² + x - 2 ).

Nella Fig. 6 qui sotto, partendo dal diagramma di y = f(x) e "simmetrizzandolo" rispetto all' asse x, riusciamo a disegnare il grafico di y = - f(x) :

Fig. 6

Se non ti sono chiari alcuni passaggi, lascia qualche commento nella sezione qui sotto, e cercheremo di risponderti 👍.

Adesso, grazie allo schema 5, disegneremo il grafico della funzione  y = f(|x|) = |x|² + |x| - 2, partendo dalla nostra solita vecchia conoscenza, y = f(x) = x² + x - 2 .

Schema 5

Cosa dice lo schema 5?

Dobbiamo considerare la porzione destra (quella che giace nel semipiano delle ascisse positive) del grafico di y = f(x) = x² + x - 2 e unirla alla simmetrica di questa porzione destra rispetto all' asse y.

Nella Fig. 7 qui sotto si vede il grafico blu della y = f(x) = x² + x - 2, indicato dalle tante freccettine rosse, sul quale viene evidenziata in viola la porzione che sta a destra dell' asse y, la quale viene unita con la sua simmetrica rispetto all' asse delle ordinate per ottenere il diagramma di y = f(|x|) = |x|² + |x| - 2.

Fig. 7

In conclusione, nella fig. 8 qui sotto vediamo che occorre non tenere conto del ramo blu che sta a sinistra dell' asse y e tenere i rami disegnati in viola.

Fig. 8

Prima di continuare, ti ricordo che puoi trovare qui il mio eBook completo sui Monomi, con tanti ricchi esercizi svolti.

E qui puoi trovare il mio eBook sul Principio di Induzione, con diversi esercizi svolti.

Inoltre, ho pubblicato un mio eBook in cui svolgo e commento ben 13 esercizi, più sostanziosi di quelli trattati in questo post, proprio sulle trasformazioni geometriche applicate ai grafici di funzioni.

Grazie allo schema 6, riusciamo a disegnare il grafico di y = |f(x)| = |x² + x - 2|, partendo dal grafico di y = f(x) = x² + x - 2.

Cosa dice lo schema 6 ?

Schema 6

Dunque, osservando la fig. 9, del grafico della funzione y = f(x) = x² + x - 2 si tengono i rami positivi (quelli che stanno al di sopra dell' asse x) e a essi uniamo la porzione negativa (quella che sta sotto l' asse delle ascisse) simmetrizzata rispetto all' asse orizzontale.

Quello che si ottiene (fig. 9 qui sotto) è il grafico verde della funzione y = |f(x)| = |x² + x - 2|

Fig.9

Qui trovi la 2^ parte dedicata alle contrazioni e dilatazioni dei grafici.

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Scopri come ottenere il mio eBook in cui svolgo e commento ben 13 esercizi, più sostanziosi di quelli trattati in questo post, proprio sulle trasformazioni geometriche applicate ai grafici di funzioni.

Prova a disegnare (senza utilizzare il computer❗️🤓🙄😀) le funzioni riportate qui sotto, partendo dai grafici di funzioni più semplici e sfruttando le trasformazioni geometriche.

Fammi sapere nella sezione dei commenti come svolgi questi esercizi. Buon lavoro!

Interessante sarà vedere anche come rappresentare graficamente una funzione come questa:

Come dicevo all' inizio di questo post, data l' importanza di studiare bene i concetti di matematica, ti consiglio vivamente di approfondire la teoria, relativa a questi argomenti, sui libri che puoi ottenere grazie ai link che trovi qui sotto 👇👇👇 📚:

Matematica: Algebra, Geometria e Probabilità. Per le Scuole superiori, con espansione online(vol 2)
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Puoi avere anche gli altri volumi. Ecco i link:

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Grafici di funzioni particolari: con archi di coniche

Ultimo aggiornamento: 25/02/2021

In questa esercitazione vedremo:

come si disegnano i grafici di funzioni particolari;

come si disegnano i grafici con archi di coniche.

1)  y = - √(1 - 16x²)

2) y = 1 - √[4x(x+4)]

Troverai:

⚫ come si determina il dominio di queste due funzioni;

⚫ come si risolve una particolare disequazione del tipo

A(x)・B(x) ⋛ 0;

⚫ come si applica il metodo del completamento del quadrato.

Le Funzioni(Primi Elementi)

In questo post faccio una panoramica veloce e qualche esempio relativi ai seguenti punti:

• definizione di funzione
• funzioni numeriche
• dominio e codominio
• notazione sulle funzioni
• come si classificano le funzioni numeriche
• esempio di funzione definita per casi

Poichè lo studio approfondito della teoria è fondamentale per affrontare bene gli esercizi e i problemi di matematica, ti consiglio dei libri che puoi ottenere grazie a dei link che ti ho fornito in fondo a questo post.

Ti auguro buono studio! 😉

Una funzione f che va dall' insieme I all' insieme J è una corrispondenza(relazione) che 

a s s o c i a

ad ogni elemento dell' insieme I uno ed un solo elemento dell' insieme J.

Vediamo quale notazione viene utilizzata quando si parla di funzioni, in matematica.

Scriviamo

f: I → J

per dire che f agisce su ogni elemento di I e a ogni elemento di I associa uno ed un solo elemento che appartiene all' insieme J.

Scriviamo anche

f(x) = y  oppure  x ↦ f(x) = y

per dire che ad ogni elemento x dell' insieme I viene associato, tramite la funzione f, uno ed un solo elemento y dell' insieme J.

La variabile x è detta indipendente, mentre la variabile y si dice dipendente, perchè dipende dal valore che assume la x.

La y viene chiamata anche immagine di x mediante la funzione f.

Esempio di funzione:

Sia f: {insieme di tutte le persone}⟶{insieme di tutte le persone}

così definita:

x ↦ f(x) = la madre di x

Essa è una funzione perchè ad ogni persona x del primo insieme(quello di partenza) associa una ed una sola persona, la madre di x(ogni persona ha una sola madre!), che sta nel secondo insieme(quello di arrivo), che coincide in questo esempio con l' insieme di partenza.

Esempio di relazione che NON è una funzione:

Sia f: {insieme di tutte le persone}⟶{insieme di tutte le persone}

così definita:

x ↦ f(x) = nonno di x

Essa non è una funzione perchè ad ogni persona x del primo insieme(quello di partenza) associa più di una persona, i quattro nonni di x(ogni persona ha più di un nonno, ne ha quattro!), che stanno nel secondo insieme(quello di arrivo).

Le funzioni numeriche sono quelle corrispondenze f: I → J per le quali sia I(Dominio) sia C(Codominio) sono sottoinsiemi dell' insieme dei numeri reali(R).

Il Codominio(C), rappresentato in blu nella figura all' inizio di questo post, è l' insieme delle immagini f(x), per ogni x appartenente ad I.

C = { f(x) | x ∈ I }

Nel caso della figura all' inizio di questo post, possiamo scrivere il Codominio nel seguente modo:

C = { f(x₁), f(x₂), f(x₃), f(x₄) }

C = { y₁, y₂, y₃, y₄ }

Nella figura seguente, vediamo come si visualizzano il Dominio sull' asse x e il Codominio sull' asse y.

Diciamo che cosa è il Dominio( I ) di una funzione(detto anche Campo di Esistenza):

è l' insieme di quei valori della x per i quali ha senso la funzione.

Esempio:

Se ci muoviamo in R(l' insieme dei numeri reali), la funzione y=√(x-1) ha senso per tutti quei valori di x che rendono maggiore o uguale di zero l' argomento della radice quadrata, (x-1). 

Dunque dobbiamo porre

x-1 ≥ 0

segue che 

x ≥ 1

Ecco, il Dominio della funzione y=√(x-1) è dato da tutti i valori reali di x maggiori o uguali di 1.

Per x=0 la funzione di questo esempio non ha senso, se ci muoviamo in R, perchè dovremmo calcolare √(0-1)=√(-1) 😢  

Sai dirmi perchè ho messo la faccina triste accanto alla radice quadrata di -1?

Quindi x=0 non fa parte del Dominio!

Neanche x = -2, ad esempio, fa parte del Dominio!

Nella figura seguente possiamo vedere come si classificano le funzioni numeriche:

Prima di andare avanti, se hai trovato finora interessante e utile questo mio post, ti invito a seguirmi sui miei vari Social. Ci vediamo lì 😊 :

Vediamo adesso un esempio di funzione definita per casi:

La funzione vale -1 per tutte le x minori o uguali a zero; vale 1 per tutte le x positive.

Se rappresentiamo graficamente questa funzione, otteniamo il seguente diagramma:

Perchè in corrispondenza di x=0 troviamo il pallino pieno a quota -1 e il pallino vuoto a quota 1?

Adesso ti pongo un' altra domanda: perchè quella definita per casi riportata qui sotto(guardala attentamente!) NON è una funzione? Puoi rispondermi nella sezione dedicata ai commenti quaggiù.

Perchè questa NON rappresenta una funzione?

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Desidero terminare questo post chiarendo un punto su cui gli studenti fanno un pò di confusione:

che cos' è lo zero di una funzione? 😓😓😓

Forse hai già sentito parlare di zero di un polinomio, vero?

Nessuna paura!😊

Un valore z si dice zero della funzione f(x) se appunto azzera la funzione, cioè se f(z) = 0.

Nel grafico qui sotto quali sono gli zeri della funzione?

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Come dicevo all' inizio di questo post, data l' importanza di studiare bene i concetti di matematica, ti consiglio vivamente di approfondire la teoria, relativa a questi argomenti, sul libro che puoi ottenere grazie al link che trovi qui sotto 👇👇👇 📚:

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