In questo post faccio una
panoramica veloce e qualche esempio relativi ai seguenti punti:
- definizione di funzione
- funzioni numeriche
- dominio e codominio
- notazione sulle funzioni
- come si classificano le funzioni numeriche
- esempio di funzione definita per casi
Poichè lo studio approfondito della teoria è fondamentale per affrontare bene gli esercizi e i problemi di matematica, ti consiglio dei libri che puoi ottenere grazie a dei link che ti ho fornito in fondo a questo post.
Ti auguro buono studio! 😉
Una funzione f che va dall' insieme I all' insieme J è una corrispondenza(relazione) che
a s s o c i a
ad ogni elemento dell' insieme I uno ed un solo elemento dell' insieme J.
Vediamo quale notazione viene utilizzata quando si parla di funzioni, in matematica.
Scriviamo
f: I → J
per dire che f agisce su ogni elemento di I e a ogni elemento di I associa uno ed un solo elemento che appartiene all' insieme J.
Scriviamo anche
f(x) = y oppure x ↦ f(x) = y
per dire che ad ogni elemento x dell' insieme I viene associato, tramite la funzione f, uno ed un solo elemento y dell' insieme J.
La variabile x è detta indipendente, mentre la variabile y si dice dipendente, perchè dipende dal valore che assume la x.
La y viene chiamata anche immagine di x mediante la funzione f.
Esempio di funzione:
Sia f: {insieme di tutte le persone}⟶{insieme di tutte le persone}
così definita:
x ↦ f(x) = la madre di x
Essa è una funzione perchè ad ogni persona x del primo insieme(quello di partenza) associa una ed una sola persona, la madre di x(ogni persona ha una sola madre!), che sta nel secondo insieme(quello di arrivo), che coincide in questo esempio con l' insieme di partenza.
Esempio di relazione che NON è una funzione:
Sia f: {insieme di tutte le persone}⟶{insieme di tutte le persone}
così definita:
x ↦ f(x) = nonno di x
Essa non è una funzione perchè ad ogni persona x del primo insieme(quello di partenza) associa più di una persona, i quattro nonni di x(ogni persona ha più di un nonno, ne ha quattro!), che stanno nel secondo insieme(quello di arrivo).
Le funzioni numeriche sono quelle corrispondenze f: I → J per le quali sia I(Dominio) sia C(Codominio) sono sottoinsiemi dell' insieme dei numeri reali(R).
Il Codominio(C), rappresentato in blu nella figura all' inizio di questo post, è l' insieme delle immagini f(x), per ogni x appartenente ad I.
C = { f(x) | x ∈ I }
Nel caso della figura all' inizio di questo post, possiamo scrivere il Codominio nel seguente modo:
C = { f(x₁), f(x₂), f(x₃), f(x₄) }
C = { y₁, y₂, y₃, y₄ }
Nella figura seguente, vediamo come si visualizzano il Dominio sull' asse x e il Codominio sull' asse y.
Diciamo che cosa è il Dominio( I ) di una funzione(detto anche Campo di Esistenza):
è l' insieme di quei valori della x per i quali ha senso la funzione.
Esempio:
Se ci muoviamo in R(l' insieme dei numeri reali), la funzione y=√(x-1) ha senso per tutti quei valori di x che rendono maggiore o uguale di zero l' argomento della radice quadrata, (x-1).
Dunque dobbiamo porre
x-1 ≥ 0
segue che
x ≥ 1
Ecco, il Dominio della funzione y=√(x-1) è dato da tutti i valori reali di x maggiori o uguali di 1.
Per x=0 la funzione di questo esempio non ha senso, se ci muoviamo in R, perchè dovremmo calcolare √(0-1)=√(-1) 😢
Sai dirmi perchè ho messo la faccina triste accanto alla radice quadrata di -1?
Quindi x=0 non fa parte del Dominio!
Neanche x = -2, ad esempio, fa parte del Dominio!
Nella figura seguente possiamo vedere
come si classificano le funzioni numeriche:
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Vediamo adesso un esempio di funzione definita per casi:
La funzione vale -1 per tutte le x minori o uguali a zero; vale 1 per tutte le x positive.
Se rappresentiamo graficamente questa funzione, otteniamo il seguente diagramma:
Perchè in corrispondenza di x=0 troviamo il pallino pieno a quota -1 e il pallino vuoto a quota 1?
Adesso ti pongo un' altra domanda: perchè quella definita per casi riportata qui sotto(guardala attentamente!) NON è una funzione? Puoi rispondermi nella sezione dedicata ai commenti quaggiù.
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| Perchè questa NON rappresenta una funzione? |
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Desidero terminare questo post chiarendo un punto su cui gli studenti fanno un pò di confusione:
che cos' è lo zero di una funzione? 😓😓😓
Forse hai già sentito parlare di zero di un polinomio, vero?
Nessuna paura!😊
Un valore z si dice zero della funzione f(x) se appunto azzera la funzione, cioè se f(z) = 0.
Nel grafico qui sotto quali sono gli zeri della funzione?
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