Prodotti notevoli: somma per differenza. Polinomi. Esercizi svolti e commentati

In questa esercitazione,
vedremo 5 esercizi
svolti e commentati
su un particolare
prodotto notevole.

I prodotti notevoli
sono prodotti speciali e,
proprio perchè sono
speciali, ci consentono
di fare i “conti” in
modo più rapido.

Iniziamo col prodotto
tra la somma di
due monomi per
la loro differenza:

(a+b)(a-b)

Se svolgiamo tutti i
prodotti tra i monomi
coinvolti e poi
semplifichiamo,
scopriamo che
questo prodotto
speciale dà sempre
la differenza di
due quadrati:

a2 - b2

Ex. 1

Svolgere questo
prodotto notevole:

( -3x + 4y )( -3x - 4y )

Come vedi, abbiamo
la somma di due
monomi per la
differenza degli
stessi monomi:

( -3x + 4y )( -3x - 4y )

Abbiamo detto che
questo prodotto
notevole
dà la differenza dei
quadrati di questi
due monomi:

( -3x )2 - (4y)2

Ora siamo pronti
per svolgere i
quadrati:

9x2 - 16y2

Ex. 2

Svolgere questo
prodotto notevole:

( 5xy - y )( 5xy + y )

In questo caso
abbiamo la differenza
di due monomi per
la loro somma.
Cosa cambia?
Nulla! Perchè?

Perchè la moltiplicazione
gode della proprietà
commutativa, cioè
possiamo
vedere il prodotto
assegnato in questo
modo:

( 5xy + y )( 5xy - y )

In generale, si ha
che

ab = ba.

Esempio:

3 x 4 = 4 x 3 = 12.

Dunque, tornando
al prodotto notevole
del 2º esercizio, si ha
che il prodotto è
dato da

(5xy)2 - y2 =
= 25x2y2 - y2

Ex. 3

Semplifica questa
espressione:

(4x2+1)(1-2x)(1+2x)+
+1-(4+x2)(2-x)(x+2)

Se guardiamo attentamente
l’ espressione, notiamo
dei prodotti notevoli.
Quali?

Li evidenzio in giallo
e verde:

(4x2+1)(1-2x)(1+2x)+
+1-(4+x2)(2-x)(x+2)

Hai qualche perplessità
sul prodotto verde?

Nessun problema!
Riscriviamo l’ espressione
cambiando l’ ordine dei
monomi dell’ ultimo
binomio:

(4x2+1)(1-2x)(1+2x)+
+1-(4+x2)(2-x)(2+x)

Bene, facciamo i conti:

(4x2+1)[12 - (2x)2 ]+
+1-(4+x2)(22-x2)

svolgiamo queste
semplici potenze

(4x2+1)(1 - 4x2)+
+1-(4+x2)(4-x2)

E ora?

Ancora abbiamo dei
prodotti notevoli, ancora
“somme” per “differenze”,
che evidenzio in
celeste e rosso:

(4x2+1)(1 - 4x2)+
+1-(4+x2)(4-x2)

Di nuovo hai qualche
difficoltà?

Il prodotto celeste ti
mette in crisi?

Possiamo riscrivere
quest’ ultima espressione
cambiando l’ ordine
dei due monomi del
1º binomio:

(1+4x2)(1 - 4x2)+
+1-(4+x2)(4-x2)

Ora va meglio?

Beh, si vede più chiaramente
la somma di due
monomi per la loro
differenza.

Passiamo ai conti:

[12 - (4x2)2]+
+1-[42-(x2)2]

Svolgiamo le potenze:

(1 -16x4)+1-(16-x4)

togliamo le parentesi
e cambiamo i segni
dove è necessario:

1 -16x4+1-16+x4

Ci rimane questa
espressione:

1 -16x4+1-16+x4

Adesso sommiamo
algebricamente i monomi
simili, che evidenzio
con lo stesso colore:

1 -16x4+1-16+x4 =

= -14 -15x4

Un' interessante applicazione
pratica di questo
prodotto notevole è il fare
abbastanza velocemente,
senza l’ uso di una
calcolatrice, alcuni
particolari calcoli,
come ad esempio…

Ex. 4

31 x 29

Sembra difficile, vero?

In effetti, questo prodotto
potrebbe unpò spaventare
la nostra mente, abituata a
utilizzare il telefonino o
la calcolatrice per
fare anche semplici conti.

Se ci pensiamo bene,
questo prodotto può
essere visto come
“somma” per “differenza”:

(30 + 1) x (30 - 1)

Meraviglia delle
meraviglie!!

Siamo in presenza di
un prodotto
notevole del tipo...

(a+b)(a-b) = a2 - b2

Quindi si ha

(30 + 1) x (30 - 1) =

= 302 - 12 =

beh, 900 - 1 è una
passeggiata!

= 900 - 1 =

= 899

Proviamo con un altro
prodotto da fare
velocemente:

Ex. 5

45 x 55

Questo prodotto può
essere visto come

(50 - 5) x (50 + 5)

Di nuovo abbiamo una
“differenza” per
una “somma”, che è
uguale a

502 - 52 =

= 2500 - 25 =

Anche 2500 - 25 è un
conto abbastanza
facile!

= 2475

Prova a fare questi conticini,
senza calcolatrice!

• 19 x 21 = ?
• 101 x 99 = ?
• 49 x 51 = ?
• 33 x 27 = ?

Nella prossima lezione,
vedremo altri
prodotti notevoli:

1. il quadrato di un binomio;
2. il quadrato di un trinomio

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Grazie, alla prossima
lezione.

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