Operazioni tra polinomi(lez. 3): esercizi svolti e commentati

In questa esercitazione sulle operazioni tra polinomi, che è la n° 3 su questo argomento, vedremo come si risolvono 4 esercizi.

Dico subito che i prodotti notevoli verranno trattati in un' altra lezione.

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Questa esercitazione è consultabile gratuitamente online.

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Buono studio!

Ex. 1

Eseguire addizioni e sottrazioni tra polinomi:

-3y⁴ + 3x²y² - [ 2 + x²y² - ( x⁴ + y⁴ - 2x²y² ) - 2y⁴ ] + 2x⁴

Pronti? Partiamo!

-3y⁴ + 3x²y² - [ 2 + x²y² - ( x⁴ + y⁴ - 2x²y² ) - 2y⁴ ] + 2x⁴

Il segno "meno" davanti alla parentesi tonda dell' espressione evidenziata in celeste ha il potere di cambiare i segni di tutti i termini presenti tra le tonde.

-3y⁴ + 3x²y² - [ 2 + x²y² - x⁴ - y⁴ + 2x²y² - 2y⁴ ] + 2x⁴

Adesso evidenziamo i monomi simili, cioè quelli che hanno la stessa parte letterale, e facciamo le somme algebriche.

-3y⁴ + 3x²y² - [ 2 + x²y² - x⁴ - y⁴ + 2x²y² - 2y⁴ ] + 2x⁴

-3y⁴ + 3x²y² - [ 2 + 3x²y² - x⁴ - 3y⁴ ] + 2x⁴

Di nuovo, il segno "meno" davanti alla parentesi quadra cambia i segni dei termini tra le quadre.

-3y⁴ + 3x²y² -  2 - 3x²y² + x⁴ + 3y⁴  + 2x⁴

I monomi  evidenziati in arancione ci salutano ✋, perchè sono opposti tra loro.

Anche i monomi evidenziati in giallo ci salutano ✋, per lo stesso motivo.

Rimane la seguente espressione:

- 2 + 3x⁴ 

Ex. 2

Moltiplicazione tra monomi e polinomi.

Semplifica questa espressione:

( a + b - 1 )⋅a² - ab - (a-b)a - ( a² - 2 )b

Pronti? Via!!

( a + b - 1 )⋅a² - ab - (a-b)a - ( a² - 2 )b

Iniziamo col porre l' attenzione sulla moltiplicazione tra il polinomio evidenziato in verde e il monomio evidenziato in arancione.

Poi ci occuperemo della moltiplicazione tra il polinomio "rosso" e il monomio "celeste", e infine svolgeremo la moltiplicazione tra il polinomio "giallo" e il monomio "viola".

Dobbiamo moltiplicare ogni termine del polinomio "verde" per il monomio "arancione". 
Lo stesso procedimento si deve applicare per le altre moltiplicazioni.

a⋅a² + b⋅a² -1⋅ a² - ab - ( a ⋅ a - b ⋅ a ) - ( a² ⋅ b - 2 ⋅ b )

Andiamo avanti, applicando anche qualche proprietà delle potenze.

a³ + a²b - a² -ab - ( a² - ab ) - ( a²b - 2b )

Togliamo le parentesi tonde e cambiamo i segni dei termini che si trovano dentro.

a³ + a²b - a² -ab - a² + ab - a²b + 2b 

Bene, notiamo che ci sono delle semplificazioni da fare...
E a noi piace semplificare☺️, vero? 

a³ + a²b - a² -ab - a² + ab - a²b + 2b 
       

I monomi evidenziati con lo stesso colore sono opposti tra loro e si annullano reciprocamente.

Rimane questa espressione:

a³ - a² - a² + 2b

Ora, sommando algebricamente i due monomi uguali, otteniamo

a³ - 2a² + 2b

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Ex. 3

Moltiplicazione tra polinomi.

Semplifica la seguente espressione:

(1 - x )( x + x⁵) + ( x³ - 2y )( 2y + x³ )

Partiamo!

(1 - x )( x + x⁵) + ( x³ - 2y )( 2y + x³ )

Ti ricordo nuovamente che in questa esercitazione NON applicheremo i prodotti notevoli!

Concentriamoci adesso sul prodotto tra il polinomio verde e quello celeste. 

Dobbiamo moltiplicare il 1° termine del polinomio verde per il 1° termine del polinomio celeste, poi aggiungiamo il prodotto tra il 1° termine del polinomio verde e il 2° termine del polinomio celeste; poi ancora aggiungiamo il prodotto tra il 2° termine del polinomio verde e il 1° termine del polinomio celeste, infine aggiungiamo il prodotto tra il 2° termine del polinomio verde e il 2° termine del polinomio celeste. Ecco:

1⋅ x + 1⋅ x⁵ - x ⋅ x - x ⋅x⁵

Riscriviamo meglio:

x + x⁵ - x² - x⁶   (primo prodotto)

Ora, a questa espressione dobbiamo sommare il prodotto tra il polinomio rosso e quello giallo, seguendo lo stesso procedimento.

Ecco qui il prodotto tra il polinomio rosso e quello giallo:

Riscriviamo meglio, facendo qualche conticino:

Ora, a quest' ultima espressione, che è, lo ricordiamo, il prodotto tra il polinomio rosso e quello giallo, aggiungiamo l' espressione del primo prodotto, cioè quello tra il polinomio verde e quello celeste.

Semplifichiamo e scriviamo ciò che rimane:

Ex. 4
Moltiplichiamo tra di loro i polinomi della seguente espressione e semplifichiamo:

(1-y)(1+y)-x(2y+x)+(x+y-1)(x+y+1)

Non potendo applicare i prodotti notevoli, che verranno affrontati in un' altra esercitazione, facciamo tutti i prodotti:

(1-y)(1+y)-x(2y+x)+(x+y-1)(x+y+1)
|_______|

  1 ⋅ 1 + 1 ⋅ y - y ⋅ 1 - y ⋅ y -2xy-x²+
  |___________________|
 faccio di nuovo vedere tutti i prodotti
 solo per la prima moltiplicazione

+x²+xy+x+yx+y²+y-x-y-1


Andiamo avanti, semplificando l' espressione:

1+y-y-y²-2xy-x²+x²+xy+x+yx+y²+y-x-y-1

Cambiamo l' ordine dei termini per vedere meglio le semplificazioni in gioco:


1-1+y-y+y-y+x-x+y²-y²-2xy+xy+xy-x²+x²

Quanto fa?

Fa zero!!

Bene, nella lezione n. 4 relativa alle operazioni tra polinomi, farò vedere come si affrontano alcuni problemi, applicando proprio i polinomi.

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