In questa esercitazione, vedremo lo
svolgimento di 3 esercizi sui prodotti
notevoli, in particolare 2 sul cubo di
un binomio e 1 sulla potenza di un
binomio, più in generale, sfruttando il
comodo triangolo di Tartaglia.
Fig. 1
La scrittura (a+b)3 rappresenta
il cubo del binomio a+b.
Significa moltiplicare 3 volte per se stesso
il binomio a+b:
(a+b)(a+b)(a+b)
Se svolgiamo tutti i prodotti tra i vari
monomi in gioco e riduciamo l’ espressione
che si ottiene, questo prodotto notevole
è uguale a
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
In pratica, per sviluppare il cubo di
un binomio, seguendo la “ricetta” classica,
occorre fare così:
al cubo del primo termine, a3, si aggiunge
il triplo del prodotto tra il quadrato del primo
termine e il secondo termine invariato, 3a2b,
poi si aggiunge ancora il triplo del prodotto
tra il primo termine invariato e il quadrato del
secondo termine, 3ab2, e infine si aggiunge
secondo termine, 3ab2, e infine si aggiunge
il cubo del secondo termine, b3.
Detto così, forse, non ti è molto
chiaro, vero?
Proverò a spiegartelo in un modo più
semplice, sfruttando i colori!
Passiamo subito agli esercizi.
Vediamo l’
Ex. 1
Calcola questo cubo di binomio:
( 2m + y )3
Seguiamo questo schema di calcolo:
( a + b )3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2+ b 3
Riprendiamo il cubo del binomio
assegnato usando i colori:
( 2m + y )3 = (2m)3 + 3 (2m)2 y + 3 (2m) y2+ y 3
Adesso svolgiamo le potenze:
8m3 + 3(4m2)y + 6my2 + y3 =
= 8m3 + 12m2y + 6my2 + y3
Questo è il polinomio che si ottiene dal
cubo di binomio assegnato.
Prima di passare al 2º esercizio, ti invito
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Ex. 2
Calcola questo cubo di binomio:
( -b2 + y2 )3
Seguiamo nuovamente lo schema di
calcolo visto prima:
calcolo visto prima:
( a + b )3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2+ b 3
Riprendiamo il cubo del binomio assegnato
usando i colori:
( -b2 + y2 )3 = (-b2)3 + 3 (-b2)2 y2 + 3 (-b2) (y2)2+ (y2) 3
Bene, ti ricordo che i termini vanno presi
coi loro segni. Se non ti è chiaro qualcosa,
fammelo sapere:
Svolgiamo le potenze:
- b6 + 3b4y2 + 3 (-b2)y4 + y6 =
= - b6 + 3b4y2 - 3b2y4 + y6
Fatto!
Dai un’ occhiata ai vari links che trovi in
questo elaborato: si tratta di risorse
aggiuntive che possono esserti utili.
Ad esempio, puoi trovare il link ad
la teoria sull’ argomento di questa
esercitazione. La teoria è
fondamentale per affrontare
bene gli esercizi e i problemi.
Prima di passare al 3º e ultimo esercizio
svolto di questa lezione, ti invito a calcolare
questo cubo di binomio:
( -5 - 2xy )3
Il primo termine è… -5.
E il secondo termine è… - 2xy.
( -5 - 2xy )3
Ecco, dopo aver individuato il 1º e il 2º
termine, puoi applicare lo schema di calcolo
visto prima:
( -5 - 2xy )3 = ...
Se hai difficoltà o dubbi, non esitare a
farmelo sapere:
Ex. 3
Calcola questa potenza di binomio:
( 3 - a2 )4
Beh, qui si può agire in due modi:
1) con la forza bruta, cioè moltiplicando per se stesso
4 volte il binomio 3 - a22) sfruttando il “magico” triangolo di Tartaglia.
Conosci il triangolo di Tartaglia?
Guardiamo la prossima figura:
Fig. 2
Forse ti stai chiedendo: “A che cosa servono
tutti questi numeri? Perchè sono disposti in
questa maniera e perchè proprio questi
numeri? Come faccio a ricordarmi tutti
questi numeretti e a riprodurre, tutte le
volte che ho bisogno, questo famoso
triangolo di Tartaglia?”
Ecco come nasce:
Fig. 3
In cima al triangolo abbiamo il numero 1,
il quale si presenta, puntuale, sia sul lato
sinistro sia sul lato destro del triangolo, in
corrispondenza di ogni singola riga.
corrispondenza di ogni singola riga.
Il triangolo di Tartaglia ha in cima tre
numeri 1 disposti a triangolo, da cui si
genera “tutto”.
Fissiamo adesso la nostra attenzione
su una riga particolare: la terza, nella quale
compare il 2 arancione. Per comodità,
compare il 2 arancione. Per comodità,
più avanti, questa riga per noi sarà la nº 2.
Il 2 arancione è il risultato della somma
tra i numeri 1 che gli stanno immediatamente
sopra.
Prendiamo adesso in considerazione la
quarta riga, quella in cui compare il 3 fucsia.
Per comodità, più avanti, lo ripeto, questa
riga per noi sarà la nº 3.
Il 3 fucsia è il risultato della somma tra i
numeri, 1 e 2, che gli stanno immediatamente
sopra.
sopra.
E così via, come si intuisce dalla figura 3.
Una volta spiegato come nasce, diciamo
anche a cosa serve e come si applica,
partendo da quest’ altra figura:
Fig. 4
Ebbene, sì, la riga n-esima, seguendo la
numerazione della figura 4, serve per avere
numerazione della figura 4, serve per avere
i coefficienti numerici per sviluppare e
calcolare la potenza n-esima del binomio
generico a+b.
In particolare, se voglio calcolare il
quadrato (n=2) di un binomio, i numeri
presenti nella riga 2 del triangolo di Tartaglia
sono i coefficienti dello sviluppo del quadrato
del binomio.
Se voglio calcolare il cubo (n=3) di un
binomio, i numeri presenti nella riga 3 del
triangolo di Tartaglia sono i coefficienti
dello sviluppo del cubo del binomio.
dello sviluppo del cubo del binomio.
Facciamo velocemente un’ osservazione
interessante sugli esponenti dei due
monomi coinvolti, a e b, e poi svolgiamo
l’ esercizio assegnato.
interessante sugli esponenti dei due
monomi coinvolti, a e b, e poi svolgiamo
l’ esercizio assegnato.
Fig. 5
Come puoi vedere, nello sviluppo delle
potenze dei binomi della fig. 5, i due termini,
a e b, compaiono sempre, con gli esponenti
decrescenti/crescenti.
decrescenti/crescenti.
Per spiegare meglio, ecco i passi che, in
fondo, possiamo individuare, un pò come
quando si osservano i fotogrammi di una
scena di un film.
1º passo su 4:
Come prima cosa, dato che l’ esponente
del binomio è 4, scriviamo, come puoi
vedere, i coefficienti della riga 4, che troviamo
nel triangolo di Tartaglia.
2º passo su 4:
Come seconda cosa, scriviamo il prodotto
tra il primo e il secondo termine, ab, a
destra di ciascun coefficiente numerico
scritto prima.
3º passo su 4:
Come terza cosa, scriviamo gli esponenti
del primo termine, a, in modo decrescente, a
partire da 4, che è l’ esponente del binomio,
fino ad arrivare a zero.
4º e ultimo passo:
Come quarto passo, scriviamo anche gli
esponenti del secondo termine, b, in modo,
questa volta, crescente, a partire da 0, fino
ad arrivare a 4, che è l’ esponente del binomio.
Cosa rimane?
Perchè b0 = a0 = 1.
Ci sono dei dubbi?
Passiamo subito ad un’ applicazione, così
si capisce meglio.
Bene, ora possiamo affrontare l’ esercizio
nº 3, che è l’ ultimo di questo video.
Esponimi eventuali tuoi dubbi, problemi,
osservazioni.
osservazioni.
Calcola questa potenza di binomio:
( 3 - a2 )4
Qui il 1º termine è 3 e il 2º termine è…
- a2 .
Quale riga del triangolo di Tartaglia
dobbiamo sfruttare?
La nº 4!
Fig. 6
Dunque scriviamo (io utilizzo i colori per
esigenze didattiche):
( 3 - a2 )4 = ...
Lo ripetiamo perchè è importante:
3 è il primo termine e - a2 è il secondo
termine.
Step 1:
1 ✖️ ( )( ) + 4 ✖️ ( )( ) + 6 ✖️ ( )( ) + 4 ✖️ ( )( ) + 1 ✖️ ( )( )
Visto che l’ esponente del binomio assegnato
è 4, ho scritto i coefficienti della riga 4,
che troviamo nel triangolo di Tartaglia,
ciascuno pronto a moltiplicare il prodotto
tra il primo termine e il
secondo termine(penseremo agli esponenti
di ciascun termine in uno step successivo).
Step 2:
1 ✖️ (3)(-a2) + 4 ✖️ (3)(-a2) + 6 ✖️ (3)(-a2) + 4 ✖️ (3 )(-a2) + 1 ✖️ (3)(-a2)
Ho scritto il prodotto tra il primo e
il secondo termine, (3)(-a2), a destra di
ciascun coefficiente numerico che ho
prelevato dalla riga 4 del triangolo di
Tartaglia.
Step 3:
1 ✖️ (3)4(-a2) + 4 ✖️ (3)3(-a2) + 6 ✖️ (3)2(-a2) + 4 ✖️ (3)1(-a2) + 1 ✖️ (3)0(-a2)
Qui ho scritto gli esponenti del primo
termine, 3, in modo decrescente, a partire
da 4, che è l’ esponente del binomio,
fino ad arrivare a zero.
Step 4:
1 ✖️ (3)4(-a2)0 + 4 ✖️ (3)3(-a2)1 + 6 ✖️ (3)2(-a2)2 + 4 ✖️ (3)1(-a2)3 + 1 ✖️ (3)0(-a2)4
Nel 4º step ho scritto anche gli esponenti
del secondo termine, -a2, in modo, questa
volta, crescente, a partire da 0, fino ad
arrivare a 4, che è l’ esponente del binomio.
Poichè 30 = (-a2)0 = 1, si ha
1 ✖️ 34 + 4 ✖️ 33(-a2)1 + 6 ✖️ 32(-a2)2 + 4 ✖️ 31(-a2)3 + 1 ✖️ (-a2)4
Adesso svolgiamo le potenze e
moltiplichiamo:
= 81 + 4 ✖️27(-a2) + 6 ✖️9a4 + 4 ✖️ 3(-a6) + 1 ✖️a8
Andiamo avanti:
= 81 - 108a2 + 54a4 - 12a6 + a8
Finito anche questo!
Nella prossima lezione, vedremo altri
esercizi svolti sulla
DIVISIONE TRA POLINOMI
Bene, puoi sostenere questo mio progetto
Ti lascio un
Grazie, alla prossima lezione.
Ciao, ti aspetto! ;-)
Puoi guardare questa esercitazione nel video qui sotto:
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