Prodotti notevoli: il quadrato di un binomio. Esercizi svolti.

Ultimo aggiornamento: 08/04/2021

In questa esercitazione,
vedremo lo svolgimento
di 5 esercizi sui

prodotti notevoli,

in particolare 3 sul

quadrato di un binomio

e 2 sul

quadrato di un trinomio.

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esercitazione in PDF

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volte che vuoi:

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(a+b)2 è il quadrato del
binomio a+b.

Significa moltiplicare
2 volte per se stesso
il binomio a+b:

(a+b)(a+b)

Se svolgiamo tutti i
prodotti tra i vari
monomi in gioco
e riduciamo l’
espressione che
si ottiene, questo
prodotto notevole
è uguale a

(a+b)(a+b) =
= a2 + b2 + 2ab

In pratica, per
sviluppare il quadrato
di un binomio, seguendo
la “ricetta” classica,
occorre fare così:

al quadrato del primo
termine, a2, si aggiunge
il quadrato del secondo
termine, b2, e infine
si aggiunge il doppio
del prodotto tra il primo
termine e il secondo
termine, 2ab.

Detto così, ti è chiaro?
Forse no, vero?

Proverò a spiegartelo in
un modo più semplice!

Passiamo subito agli
esempi che ti propongo io.
Utilizzo anche i colori,
per provare
a essere più comprensibile.

Vediamo l’

Ex. 1

Come si calcola un

quadrato di binomio

( 5x2 + 3xy )2

Seguiamo questo schema
di calcolo:

( a  + b  )2 =

= (a )2 + (b )2 +

+ 2⋅(a )⋅(b )

Riprendiamo il quadrato
del binomio assegnato
usando i colori:

( 5x2 + 3xy )2 =

= ( 5x2 )2 + ( 3xy )2 +
+ 2⋅( 5x2 )⋅( 3xy  )

Adesso svolgiamo le
potenze:

25x4 + 9x2y2 + 30x3y

Questo è il polinomio
che si ottiene dal
quadrato di binomio
assegnato.

Prima di passare al 2º
esercizio, ti invito a

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Ex. 2

Come si calcola
il quadrato di un binomio

( -3ab2 + y3 )2

Seguiamo nuovamente lo
schema di calcolo visto
prima:

( a  + b  )2 =

= (a )2 + (b )2 +

+ 2⋅(a )⋅(b )

Riprendiamo il quadrato del
binomio assegnato usando
i colori:

( -3ab2 + y3 )2 =
= ( -3ab2 )2 + ( y3 )2 +
+ 2⋅( -3ab2 )⋅( y3 )

Bene, ti ricordo che i termini
vanno presi coi loro segni.

Svolgiamo le potenze:

9a2b4 + y6 - 6ab2y3

Fatto!

Dai un’ occhiata ai vari links
che trovi in questo elaborato:
sono risorse aggiuntive che
possono esserti utili.

Ex. 3

Come calcolare il
quadrato di un binomio

( 10z - a5 )2

Indovina cosa facciamo!

Seguiamo il nostro buon
vecchio schema di
calcolo:

[ 10z + (- a5) ]2 =

= ( 10z )2 + ( - a5 )2 +
+ 2 ( 10z ) ( - a5 )

Hai notato cosa ho scritto?

Il secondo termine è - a5 ,
col suo bel segno meno.

Ora, eseguiamo le potenze:

100z2 + a10 - 20a5z

Finito anche il 3° esercizio!

Adesso tocca al

quadrato di un trinomio:

(a+b+c)2 è il quadrato del
trinomio a+b+c.

Significa moltiplicare 2 volte
per se stesso il trinomio
a+b+c:

(a+b+c)(a+b+c)

Se svolgiamo tutti i prodotti
tra i vari monomi in gioco
e riduciamo l’ espressione
che si ottiene, questo
prodotto notevole è
uguale a

(a+b+c)(a+b+c) =
= a2 + b2 + c2 +
+ 2ab + 2ac + 2bc

Questa volta, anzichè darti
la “ricetta” classica nuda
e cruda per eseguire il
quadrato di un trinomio, ti
mostro lo schema
di calcolo con l’ aiuto vivace
dei colori:

(a +b +c )2 =

= a 2 + b 2 + c 2 +

+ 2(a )(b ) + 2(a )(c )+

+2(b )(c )

Riprendiamo il quadrato
del trinomio usando
i colori:

(a+b+c)2 =

= a2 + b2 + c2 +

+ 2ab + 2ac + 2bc

Beh, velocemente, possia-

mo dire che al quadrato

del primo termine aggiun-

giamo il quadrato del se-

condo termine, poi aggiun-

giamo il quadrato del terzo

termine, poi aggiungiamo

il doppio del prodotto tra il

primo termine e il secondo

termine, ancora aggiun-

giamo il doppio del prodot-

to tra il primo termine e il

terzo termine, infine ag-

giungiamo il doppio del

prodotto tra il secondo ter-

mine e il terzo termine.

Sì, lo so, sembra complica-

to, ma coi prossimi due

esercizi applicheremo que-

sto schema di calcolo che

ha, anch’ esso, una sua

“struttura” ordinata.

Ex. 4

Come si calcola il
quadrato di un trinomio

( ab + x + 3a )2

Riprendiamo il quadrato del
trinomio usando i colori:

(ab+x+3a)2 =

= ( ab )2 + x2 + ( 3a )2 +

+ 2 ( ab )x + 2( ab )( 3a ) +

+ 2x( 3a )

Andiamo avanti, applicando
anche qualche proprietà
delle potenze:

a2b2 + x2 + 9a2 + 2abx +
+ 6a2b + 6ax

Fatto!

Prima di finire col 5º eser-

cizio, ti invito a comunica-

re con me, via e-mail, per

espormi eventuali tuoi dub-

bi, problemi, osservazioni.

Ex. 5

Come calcolare il
quadrato di un trinomio

( 4xy - 2x - 3 )2

Come al solito, riprendiamo
il quadrato del trinomio
usando i colori e tenendo
conto del segno
di ciascun termine:

[ 4xy + (-2x) + (-3) ]2 =

= ( 4xy )2 + (-2x)2 + (-3)2 +

+ 2( 4xy )(-2x) + 2( 4xy )( -3 ) +

+ 2(-2x)( -3 )

Facciamo i conti:

16x2y2 + 4x2 + 9 - 16x2y - 24xy +
+ 12x

Finito anche questo!

Nella prossima lezione, ve-

dremo altri prodotti note-

voli:

1. il cubo di un binomio;
2. il triangolo di Tartaglia.

Bene, puoi sostenere il mio
progetto didattico e consentirmi
di realizzare tante altre esercitazioni

iscrivendoti, condividendo
questa lezione e, se vuoi,

puoi anche fare una

donazione. Ti do anche

il link per accedere ad

altri esercizi sui polinomi.

Grazie, alla prossima

lezione.

Ciao, ti aspetto! ;-)

Puoi guardare questa eser-

citazione nel video qui sot-

to: