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| Fig. 1 |
Nell' insieme dei numeri complessi vale la proprietà commutativa dell' addizione e della moltiplicazione?
z + w = w + z ∀ z,w ∈ C ?
z ⋅ w = w ⋅ z ∀ z,w ∈ C ?
∀ z,w ∈ C si legge "per ogni (∀) coppia di elementi, z e w, appartenenti (∈) all' insieme dei Numeri Complessi (C)"
Ciao! Sono Giuseppe.
In questo blog parlo di matematica, e in particolare svolgo e commento esercizi per le scuole superiori e l' università.
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Per gli amanti delle dimostrazioni matematiche, in questo breve tutorial, risponderò ai due quesiti precedenti.
Esercizio
Dimostra che la moltiplicazione e l' addizione nell' insieme dei numeri complessi ( C ) godono della proprietà commutativa.
Svolgimento
Prendiamo due numeri complessi qualunque, scritti in forma algebrica:
z = a + i⋅b
w = c + i⋅d
a, b, c, d sono numeri reali
a e c sono le parti reali rispettivamente di z e w;
b e d sono i coefficienti delle parti immaginarie rispettivamente di z e w
i è l' unità immaginaria, il cui quadrato fa -1:
i² = -1
z + w = (a + i⋅b) + (c + i⋅d) =
...per definizione di somma di due numeri complessi...
= (a+c)+i⋅(b+d)
Cos' è successo?
E' successo che la parte reale è la somma delle parti reali, e il coefficiente della parte immaginaria è la somma dei coefficienti delle parti immaginarie.
Per la proprietà commutativa dell' addizione nei numeri reali...
z + w = (a+c)+i⋅(b+d) =
= (c+a)+i⋅(d+b) =
...per la definizione di somma di due numeri complessi vista prima...
= (c + i⋅d) + (a + i⋅b) =
= w + z
Ricordiamolo:
la parte reale è la somma delle parti reali; il coefficiente della parte immaginaria è la somma dei coefficienti delle parti immaginarie.
Guardando la catena di uguaglianze, possiamo concludere che
z + w = w + z ∀ z,w ∈ C ! ☺️
Andiamo avanti con la moltiplicazione...
z⋅w = (a + i⋅b) ⋅ (c + i⋅d) =
...per definizione di prodotto di due numeri complessi...
= (a⋅c-b⋅d)+i⋅(a⋅d+b⋅c)
Osserviamo quello che è successo:
la parte reale è la differenza tra il prodotto delle parti reali e il prodotto dei coefficienti delle parti immaginarie;
il coefficiente della parte immaginaria invece è la somma tra il prodotto dei due coefficienti "estremi" (diciamo così, per semplicità) e il prodotto dei due "medi" (anche qui diciamo così, per semplicità).
Andiamo avanti...
(a⋅c-b⋅d)+i⋅(a⋅d+b⋅c)=
...per la proprietà commutativa della moltiplicazione nei numeri reali...
= (c⋅a-d⋅b)+i⋅(d⋅a+c⋅b) =
...per la proprietà commutativa dell' addizione nei numeri reali...
= (c⋅a-d⋅b)+i⋅(c⋅b+d⋅a) =
...per la definizione di prodotto di due numeri complessi vista prima...
= (c + i⋅d) ⋅ (a + i⋅b) = w⋅z
Ricordiamolo:
la parte reale è la differenza tra il prodotto delle parti reali e il prodotto dei coefficienti delle parti immaginarie;
il coefficiente della parte immaginaria invece è la somma tra il prodotto dei due coefficienti "estremi" e il prodotto dei due "medi".
Guardando la catena di uguaglianze, possiamo concludere che
z ⋅ w = w ⋅ z ∀ z,w ∈ C ! ☺️
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Alla prossima lezione. Ciao, ti aspetto!
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