Come si semplificano le espressioni che contengono frazioni algebriche?
Ciao! Sono Giuseppe.
In questo blog parlo di matematica, e in particolare svolgo e commento esercizi per le scuole superiori e l' università.
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In questo breve tutorial, ci eserciteremo semplificando due espressioni:
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| Fig. 1 |
Iniziamo col 1° esercizio:
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| Fig. 2 |
Facciamo gradualmente le scomposizioni dei polinomi in gioco:
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| Fig. 3 |
Come vedi, nella fig. 3 ho effettuato una prima semplificazione, cancellando il 3 al numeratore e al denominatore della frazione più a destra.
Volendo, si può semplificare anche il 2 al numeratore e il 6 al denominatore della frazione più a sinistra della fig. 3.
😊 Niente paura! Più avanti, faremo altre semplificazioni.
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| Fig. 4 |
Nella fig. 4, ho scomposto la differenza di quadrati presente sia al numeratore della frazione più a sinistra sia al denominatore della frazione più a destra (x² -9).
Sappiamo che x² -9 = (x+3)(x-3)
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| Fig. 5 |
Nella fig. 5, osserviamo che al denominatore della seconda frazione a partire da sinistra ho "raccolto" il segno - , in modo da avere il fattore (x-3) come negli altri denominatori della terza e quarta frazione.
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| Fig. 6 |
Nella fig. 6, ho semplicemente fatto salire il segno - al livello della linea di frazione.
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| Fig. 7 |
Nella fig. 7, calcolo il minimo comune multiplo (m.c.m) tra i denominatori all' interno delle parentesi quadre.
Permettimi di riscrivere l' espressione della fig. 6:
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| Fig. 8 |
A questo punto, imponiamo che i denominatori siano diversi da zero (Condizioni di Esistenza, C. E.):
6(x²+3) ≠ 0 👉 per ogni valore di x
2x(x-3) ≠ 0 👉 per x ≠ 0 ed anche x ≠ 3
(x-3)² ≠ 0 👉 per x ≠ 3
(x-3)(x+3) ≠ 0 👉 per x ≠ 3 ed anche x ≠ -3
Dunque le C.E. sono:
x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ -3
Adesso calcoliamo il m.c.m. tra i denominatori presenti tra le quadre dell' espressione in fig. 8, facciamo i conti e le semplificazioni:
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| Fig. 9 |
Come vedi, la fig. 9 ci mostra due frazioni, che si moltiplicano tra loro (in realtà adesso le parentesi quadre sono superflue), e la possibilità di operare delle semplificazioni tra il numeratore della prima frazione e il denominatore della seconda frazione:
il 2 del numeratore della prima frazione se ne va col 2 del denominatore della seconda frazione;
la x del numeratore della prima frazione se ne va con la x del denominatore della seconda frazione;
x-3 del numeratore della prima frazione si semplifica con (x-3)² del denominatore della seconda frazione;
per finire, x+3 del numeratore della prima frazione se ne va con x+3 del denominatore della seconda frazione.
Continuando a puntare l' attenzione sull' espressione della fig. 9, ci accorgiamo che è possibile operare un raccoglimento a fattor comune tra i termini evidenziati in arancione.
L' espressione della fig. 9, dopo le semplificazioni e il raccoglimento a fattor comune, diventa quella che vedi qui sotto (fig. 10):
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| Fig. 10 |
Guardando l' espressione della fig. 10, ci accorgiamo che possiamo togliere le parentesi tonde che si trovano all' interno delle quadre, cambiando opportunamente i segni:
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| Fig. 11 |
Adesso ti lascio gli ultimi passaggi, che sono semplici da seguire:
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| Fig. 12 |
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| Fig. 13 |
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| Fig. 14 |
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| Fig. 15 |
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| Fig. 16 |
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| Fig. 17 |
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| Fig. 18 |
Ecco la nostra espressione di partenza semplificata:
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1/[2(x-3)]
Se qualcosa non ti è chiaro, prova a scrivere una domanda nella sezione dedicata ai commenti.
😊 Non si accettano commenti anonimi! 😊
Passiamo alla 2^ espressione:
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| Fig. 19 |
Il denominatore della prima frazione presenta una differenza di quadrati.
Pure il numeratore dell' ultima frazione presenta una differenza che può essere vista come differenza di quadrati:
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| Fig. 20 |
Imponiamo, come nell' esercizio precedente, che i denominatori siano diversi da zero (Condizioni di Esistenza, C. E.):
(x-y)(x+y) ≠ 0 👉 x ≠ y, x ≠ -y
x² + y² ≠ 0 👉 x ≠ 0 oppure y ≠ 0
2(x³ + y³) ≠ 0, cioè
2(x+y)(x²-xy+y²) ≠ 0 👉 x≠-y , x≠0 oppure y≠0
Dunque le C.E. sono:
x ≠ y, x ≠ -y, x≠0 oppure y≠0
Nella fig. 21 qui sotto opero una prima semplificazione, poi scompongo la differenza di quadrati che trovo al numeratore della terza frazione e sostituisco la somma di due cubi che si trova al denominatore dell' ultima frazione con la sua scomposizione, già fatta quando cercavamo le C.E.:
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| Fig. 21 |
Semplifico ancora:
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| Fig. 22 |
Calcolo il minimo comune multiplo tra i due denominatori presenti tra le parentesi tonde grandi e faccio i conti:
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| Fig. 23 |
Semplifico ancora:
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| Fig. 24 |
Sviluppo il quadrato di binomio:
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| Fig. 25 |
Ti lascio gli ultimi passaggi, che sono semplici da capire:
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| Fig. 26 |
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| Fig. 27 |
Wow! La nostra seconda espressione assegnata semplificata:
1 😃
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